2017年湖北省襄阳市优质高中高考数学模拟试卷(理科)(1月份)

将三项式 展开,当 , , , ,…时,得到以下等式:

观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为:第 行为 ,以下各行每个数是它头上与左右两肩上 数(不足 数的,缺少的数计为 )之和,第 行共有 个数.若在 的展开式中, 项的系数为 ,则实数 的值为________.

【答案】

【考点】 归纳推理 【解析】

由题意可得广义杨辉三角形第 行为 , , , , , , , , , , ,所以 的展开式中, 项的系数为 ,即可求出实数 的值. 【解答】

解:由题意可得广义杨辉三角形第 行为 , , , , , , , , , , , 所以 的展开式中, 项的系数为 , 所以 . 故答案为: .

若 ,对任意的 ,都有 ,且 设 表示整数 的个位数字,则 ________. 【答案】

【考点】 数列递推式

数列的概念及简单表示法 【解析】

通过计算出前几项的值猜想并用数学归纳法证明 ,进而通过计算出数列

前几项的值可知从第 项起数列 是以 为周期的周期数列,进而可得结论. 【解答】

解:依题意, , 即 , ,解得: 或 (舍)

,即 , 解得: 或 (舍),

,即 , 解得: 或 (舍),

,即 , 解得: 或 (舍),

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猜想: .

下面用数学归纳法来证明: ①当 时,显然成立;

②假设当 时,有 ,

∵ ,

∴ , 解得: ,或

(舍),

即当 时命题成立; 由①、②可知 . ∴ , , , , , ,

∴ 从第 项起数列 是以 为周期的周期数列, ∵ , ∴ , 故答案为: .

三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

在 中,角 , , 的对边分别为 , ,

(1)若 , , 成等比数列, ,求 的值;

(2)若 , , 成等差数列,且 ,设 , 的周长为 ,求 的最大值. 【答案】

解:(1)∵ , , ∴ ,

∵ , , 成等比数列,∴ . … 由正弦定理得, , ∴

(2)∵ 角 , , 成等差数列, ,∴ , 又 ,由正弦定理得 , ∵

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∴ … ∴ 周长

… ∵ ,∴ 当 即 时, ,

所以 周长 的最大值为 . …

【考点】 正弦定理

三角函数中的恒等变换应用 【解析】

(1)由题意和平方关系求出 ,由等比中项的性质和正弦定理化简后,由两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子,将数据代入求值即可;

(2)由等差中项的性质和内角和定理求出 ,由条件和正弦定理求出 、 ,表示出周长为 后,由两角和与差的正弦公式化简,由正弦函数的性质和 的范围求出周长 的最大值. 【解答】

解:(1)∵ , , ∴ ,

∵ , , 成等比数列,∴ . … 由正弦定理得, , ∴

(2)∵ 角 , , 成等差数列, ,∴ , 又 ,由正弦定理得 , ∵ ∴

∴ …

∴ 周长

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… ∵ ,∴ 当 即 时, ,

所以 周长 的最大值为 . …

近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇, 年双 期间,某网络购物平台推销了 , , 三种商品,某网购者决定抢购这三种商品,假设该名网购者都参与了 , , 三种商品的抢购,抢购成功与否相互独立,且不重复抢购同一种商品,对 , , 三件商品抢购成功的概率分别为 , , ,已知三件商品都被抢购成功的概率为 ,至少有一件商品被抢购成功的概率为 .

(1)求 , 的值;

(2)若购物平台准备对抢购成功的 , , 三件商品进行优惠减免, 商品抢购成功减免 百元, 商品抢购成功减免 比百元, 商品抢购成功减免 百元.求该名网购者获得减免总金额(单位:百元)的分别列和数学期望. 【答案】

由题意,得 ,

因为 ,解得 .

由题意,令网购者获得减免的总金额为随机变量 (单位:百元), 则 的值可以为 , , , , , , .

而 ; ; ; ; ;

; .

所以 的分布列为:

于是有 【考点】

离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差

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