． 简单线性规划的应用
明目标、知重点.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.掌握线性规划实际问题中的常见类型.会求一些简单的非线性函数的最值．
．用图解法解线性规划问题的步骤： ()确定线性约束条件； ()确定线性目标函数； ()画出可行域；
()利用线性目标函数(直线)求出最优解． ．在线性规划的实际问题中的题型
主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
探究点一生活实际中的线性规划问题
思考采取什么方法，能比较容易的从已知条件中列出线性约束条件？
答要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确目标函数和约束条件是有相当难度的，要解决这个难点关键是通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理．
例医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元；乙种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元．若病人每餐至少需要单位蛋白质和单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？ 解将已知数据列成下表：
原料 甲 乙 蛋白质单位 铁质单位 费用元 设甲、乙两种原料分别用和，总费用为， 那么目标函数为＝＋， 作出可行域如图所示：
把＝＋变形为＝－＋，得到斜率为－，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线． 由图可知，当直线＝－＋经过可行域上的点时，截距最小，即最小． 由得(，)， ∴＝×＋×＝.
∴甲种原料×＝ ()，乙种原料×＝ ()，才能既满足营养，又使费用最省．
反思与感悟解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成： ()作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线； ()平移——将平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
()求值——解有关方程组求出点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
跟踪训练某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于吨，已知生产甲产品吨需煤吨，电力千瓦，劳动力个(按工作日计算)；生产乙产品吨需煤吨，电力千瓦，劳动力个；甲产品每吨价万元，乙产品每吨价万元；但每天用煤量不得超过吨，电力不得超过千瓦，劳动力只有个，当每天生产甲产品吨，乙产品吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 答案
解析设每天生产甲产品吨，乙产品吨，总利润为万元， 依题意得约束条件为 ，
目标函数为＝＋，可行域如图所示，
从图中可以看出，当直线＝＋经过点时，直线的截距最大，取最大值． 解方程组，得()，
故当＝，＝时，＝×＋×＝(万元)．
例某厂生产一种产品，其成本为元，售价为元，生产中，每千克产品产生的污水，污水有两种排放方式：
方式一：直接排入河流．
方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有.污水处理站最大处理能力是，处理污水的成本是元.
另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是元，且允许该厂排入河流中污水的最大量是，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每时净收益最大？
思考如果设该厂生产的产量为，直接排入河流的污水为，每小时净收益为元，如何用，表示： ()污水处理费用？
()环保部门要征收的排污费？ ()污水处理能力有限？ ()允许排入河流的污水量有限？ ()目标函数？(写出例题的解题过程)
答()(－)；()[(－)＋]；()≤－≤；()＋(－)(－)≤；()＝－－(－)－[(－)＋]＝－. 解根据题意，本问题可归纳为
在约束条件下，求目标函数＝－的最大值． 作出可行域，如图所示，
令＝作直线：－＝，由图形可以看出，平移直线，在可行域中的顶点处，取得最大值． 解方程组得()．
故该厂生产该产品，直接排入河流的污水为时，可使每小时净收益最大，最大值×－×＝(元)． 答该厂应安排生产该产品，直接排入河流的污水为时，其每小时净收益最大．
反思与感悟在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析． 跟踪训练要将两种大小不同的钢板截成、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板
的块数如下表所示：
规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 规格 规格 规格 今需要、、三种规格的成品分别为、、块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解设需截第一种钢板张，第二种钢板张． .作出可行域如图(阴影部分)
目标函数为＝＋，作出一族平行直线＋＝，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线＋＝和直线＋＝的交点，直线方程为＋＝.由于和都不是整数，而最优解(，)中，，必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是＋＝，经过的整点是()和()，它们都是最优解．
答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板张、第二种钢板张；第二种截法是截第一种钢板张、第二种钢板张．两种方法都最少要截两种钢板共张． 探究点二非线性目标函数的最值问题
问题一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如： ①＝＋表示可行域中的点(，)与原点()距离的平方； ②＝(－)＋(－)表示可行域中的点(，)与点(，)距离的平方； ③＝表示可行域内的点(，)与定点(，)连线的斜率；
④＝ (≠)，可以先变形为＝·，可知表示可行域内的点(，)与定点连线斜率的倍；
⑤＝＋＋ (＋≠)，可以化为＝·的形式，可知表示可行域内的点(，)到直线＋＋＝距离的倍． 例已知实数，满足
()试求＝的最大值和最小值； ()试求＝＋的最大值和最小值． 解()由于＝＝，