等差数列应用题
例题精讲
【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。
【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分
【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9L,99共33个，他们的和是
?0?99??3434=。 ?17?99?1683，则他们的平均数为1683÷
2【答案】49.5
【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个
野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题
【解析】 平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了8?2?1=15只果，共有15只猴.
【答案】15只猴子
【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着
有 位同学．
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，1年级
【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15?10?5（个）；又因为从右边起学学报12，所以，
学学的左边还有15?12?3（个），15?6?4?5（个）学学和思思中间排着5位同学．
<考点> 排队问题 【答案】5位
【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报
17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20
【答案】20
【例 5】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为
102的两个数一一配对，可配成25对．
所以2?4?6?L?96?98?100=（2+100）?25=103?25=2550
（方法二）根据1?2?3?L?98?99?100?5050，从这个和中减去1?3?5?7?...?99的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．
【答案】2550
【例 6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，
第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的
规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几
项？由刚刚推导出的公式——第n项?首项?公差（， ?n?1）所以，第102项?3?2?（102-1）?205；由“项数?(末项?首项)?公差?1”，999所处的项数是：
【答案】499
【例 7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数(重
合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第6题
【解析】 这列数第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋
5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55。
【答案】55
【例 8】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28
层．问最下面一层有多少根?
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项
是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算． 解： an?a1?(n?1)?d
?32(根)
故最下面的一层有32根．
【答案】32
【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层
都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数
=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
【答案】555458
【例 9】 一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一
个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8．由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：
（3?10）?8?2?52（根）
（方法二）我们可以这样假想：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）
这个槽内的钢管共有8层，每层都有3?10?13（根），所以槽内钢管的总数为：（3?10）?8?104 （根）．取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：104?2?52（根）
【答案】52
【巩固】 某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个
座位？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 第一排座位数：70?2?(20?1)?32（个），一共有座位：(32?70)?20?2?1020（个）．
【答案】1020
【巩固】 一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三
排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少
个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如果我们把每排的座位数依次记下来，10、12、14、16、… 容易知道，是一个等差数列．210是第
n?（210?10）?2?1?101排，中间一排就是第（101?1）?2?51排，那么中间一排有：
座位．根据刚刚学过的中项定理，这个剧场一共有：． 10?（51?1）?2?110（个）110?101?11110（块）
【答案】11110
【例 10】 有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？
【考点】等差数列应用题 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第10题
【解析】 从图中可以看出，除去最上层1个球外，第二层（次上层）有（1＋2＋3＋4＋5）＝15个球，以
后每层比上一层多6、7、8、9、10个球，共7层.15＋6＝21，21＋7＝28，28＋8＝36，36＋9＝45，45＋10＝55，1＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝201。
【解析】 答：共有201个球。
【答案】201个球
【例 11】 某年4月所有星期六的日期数之和是54，这年4月的第一个星期六的日期数是 。
【考点】 等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第14题
【解析】 4x+(+7) +(+14) +(+21)=54，x=3
【答案】3
【例 12】 一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位
乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 通过尝试可得：即第11站后，车上坐满乘客．记住自然数1~101?2?3?L?11?（1?11）?11?2?66，
的和对于解一些应用题很有帮助，需要尝试求解时能够较快找到大概的数．
【答案】11
【例 13】 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下，即：
（1?2?3?L?12）?12?（1?12)?12?2?12?78?12?90（下），
所以一昼夜时钟一共敲打：90?2?180（下）．
【答案】180
【例 14】 已知：a?1?3?5?L?99?101，b?2?4?6?L?98?100，则a、b两个数中，较大的数比较
小的数大多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 （方法一）计算：a?（1?101）?51?2?2601，b?（2?100）?50?2?2550，所以a比b大，大
2601?2550?51．
（方法二）通过观察，a中的加数从第二个数起依次比b中的加数大1，所以a比b大， 【答案】51
【例 15】 小明进行加法珠算练习，用1?2?3?4?L，当加到某个数时，和是1000．在验算时发现重复加了
一个数，这个数是多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】 通过尝试可以得到1?2?3?L?44? （1?44）?44?2?990．于是，重复计算的数是1000?990?10．
【答案】10
【例 16】 编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果
1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据题意，灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答．
由等差数列求和公式“和?（首项?末项）?项数?2”，可得：末项?和?2?项数?首项． 则第9个盒子中糖果的粒数为：351?2?9?11?67（粒）
题目所求即公差?（67?11）?（9?1）?56?8?7（粒），则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖．
【答案】7
【巩固】 例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 等差数列有个规律：首项?末项?第2项?倒数第2项?第3项?倒数第3项?L，所以我们可以得
到等差数列求和公式的一个变形，假设等差数列有n项，则和?（第a项?第n?a?1项）?n?2，则倒数第3个盒子即第个盒子中糖果的粒数为：351?2?9?23?55（粒） （9?3?1）题目所求即公差?（55?23）?（7?3）?32?4?8（粒），则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖．
【答案】8
【例 17】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得
到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 小王：1000+60×（12-1）=1660，（1000+1660）×12÷2=15960
小高：500+45×（12-1）=995，（500+995）×12÷2=8970，15960-8970=6990 即一年后两人所得工资总数相差6990元。
【答案】6990
【巩固】 王芳大学毕业找工作。她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两个公
司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司答应每半年加薪300元。以五年计算，王
芳应聘 公司工作收入更高。
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，3年级，决赛
【解析】 甲公司五年之内王芳得到的收入为：
10000?11000?12000?13000?14000?60000(元)．
【解析】 乙公司五年之内王芳得到的收入为：
10000?5?300?600?900?1200?L?300?9?50000?300 ?45?63500(元)．所以，王
芳应聘乙公司工作收入更高．
【答案】63500
【例 18】 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分
数超过了90分（满分为100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 他们的平均分为656÷8=82
82+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为1×2=2、2×2=4、3×2=6……