小学数学六年级有关疑难问题解读 - 图文

( )×( )=24

1,2,3,?

这时不仅要考虑积是24的乘法口诀,而且要找出积是24的其它乘法算式。因此,在第一组括号里应该试填1,2,3,4,直至该数自乘超过24(5×5>24)为止。两个括号里可以填入的所有的数都是24的因数。

57 “倍”和“倍数”有什么不同?说“5是4的1.25倍”、或者“5是4的倍数”对吗?

【倍的意义】 如果a=kb,(k是一个数)就说“a是b的k倍。”这里的k可以是整数,也可以是小数、分数或无理数。a、b可以是两个数,也可以是两个同类的连续量或离散量。并且习惯上上述说法用于k≥1的场合。

【倍数的意义】如果a、b、q都是整数,并且a=bq,则称“a是b的倍数”、“b是a的因数”。当然也可以说“a是q的倍数”、“q是a的因数”。

“倍”和“倍数”虽然都是乘法算式引伸出来的概念,但前者是有理数集、实数集上的乘法,后者则是整数集上的乘法。

如5=1.25×4,因此,我们可以说“5是4的1.25倍”,也可以说“5是1.25的4倍”。但不能说“5是4的倍数”或“5是1.25的倍数”。

58 “约数”和“因数”有什么区别和联系?

倍数和约数是两个整数有整除关系时,引伸出来的概念:若b整除a,则称b为a的约数,a为b的倍数。“( )能被( )整除”、“( )整除( )”、“( )是( )的约数”、“( )是( )的倍数”指的是两个整数之间的同一种关系。因数是与实数乘法有关的一个概念:设a、b、c都是实数,若a=b×c,则a叫做b与c的积,b叫做被乘数,c叫做乘数。被乘数与乘数都叫做积的因数。

例如,4.2=2.1×2,4.2是2.1与2的积,2.1和2都是4.2的因数。

又如,26?23?2,26是23与2的积,23与2都是26的因数。

把因数的概念用于整数乘法。如32=4×8,32是4与8的积,4与8都是32的因数。当然,4与8也都是32的约数。

由于整除除法与整数乘法可以相互转化,即a?b?c等价于b|a,所以在讨论整除问题时,有人不再区分约数和因数。

59 单数、双数与奇数、偶数有什么区别和连系?

【偶数】【双数】能被2整除的整数叫做偶数。偶数有正偶数、负偶数和零。正偶数也叫双数。双数就是能被2整除的正整数。

偶 数

?,-6,-4,-2,0,2,4,6,?

负偶数 正偶数(双数)

- -

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零不是双数;零是偶数,但不是最小的偶数。

偶数就是2的倍数。但有关“公倍数”与“最小公倍数”的概念往往只涉及正的倍数。因此,我们通常认为:最小的偶数不存在,但2的最小的倍数是2。(参看A2-30)

【奇数】【单数】不能被2整除的整数叫做奇数。正奇数也叫单数。可见,单数就是不能被2整除的正整除。

【整数的奇偶性的判定】判定一个整数究竟是奇数还是偶数,可以根据“奇数”、“偶数”的定义,并且运用“能被2整除的数的特征。”

凡个位上是0、2、4、6、8的整数都是偶数; 凡个位上是1、3、5、7、9的整数都是奇数。 【奇数与偶数的性质】

(1)两个奇数的和或差都是偶数。 (2)两个偶数的和或差都是偶数。

(3)一个奇数与一个偶数的和或差都是奇数。 (4)两个奇数的积还是奇数。

(5)一个奇数与一个偶数的积或者两个偶数的积都是偶数。

60 “最小的质数”、“最小的偶数”与“最小的倍数”各指什么?为什么“0是任何一个整数的倍数”,但不是几个整数的最小公倍数?

【最小的质数】【偶质数】质数中最小的一个叫做“最小的质数”。最小的质数是2。它是唯一能被2整除的质数,所以又叫“偶质数”。

如果把“偶数”定义为能被2整除的整数,则“偶数”应包括正偶数、负偶数和零。“最小的偶数”不存在。

既使对于“能被2整除的自然数”而言,其中最小的是0,而不是2。 小学数学定义倍数时,小学生还没有负数的概念:

a ×( )=( )

┆ ┆

自然数 a的倍数

所以,在a的倍数中,最小的是零。于是,几个数的公共的倍数中最小的也必然是零。但是0不能作为几个分数的公分母,所以这样的“最小公倍数”在异分母分数的加减法中毫无用处。因此,在“倍数”、“公倍数”与“最小公倍数”的序列定义中,应该在适当的地方把零排除。

方案一:在定义“倍数”时,就将零排除:“自然数a与任何一个正整数1,2,3,?的乘积都称之为a的倍数。”因此,在a的倍数中,最小的一个是a。

然后,定义公倍数与最小公倍数:“几个数的公共的倍数称为这几个数的公倍数。” “几个数的公倍数中最小的一个称为这几个数的最小公倍数。” 方案二:定义“公倍数”时排除零。

“自然数a与任何一个自然数的乘积都叫做a的倍数。”因此,在a的倍数中最小的是零“几个数的零以外的公共的倍数叫做这几个数的公倍数。”

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“几个数的公倍数中,最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。” 方案三:定义“最小的公倍数”时才排除零。

“自然数a与任何一个自然数的乘积都叫做a的倍数”。因此,a的最小的倍数是0。 “几个数的公共的倍数叫做这几个数的公倍数。”因此,零总是几个数的公倍数。 “几个数的公倍数中,零以外的最小的那一个叫做这几个数的最小公倍数。” 以上三个方案中,似乎方案二更便于小学生理解。

经过这样的规定,使得零虽然是任何一个整数的倍数,但不是几个整数的最小公倍数。

61 为什么说:“偶数都是合数”、“质数都是奇数”都是错误的?

在整数中,奇数、偶数是以它是否能被2整除来定义的。能被2整除的整数叫偶数,不能被2整除的整数叫做奇数。

质数与合数是以一个自然数约数的个数来区别的、一个大于1的自然数,如果除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数;如果除了1和它本身,还有别的约数,这个数就叫做合数。

可见,这两组概念定义的标准不同。奇数不一定是质数。例如,9、21、33??都是奇数,但它们都不是质数,而是合数;质数也不一定是奇数。如2是质数,但它不是奇数。当然,除2以外的质数都是奇数。偶数不一定是合数,如2是偶数,但不是合数,而是质数;合数也不一定是偶数,例如:15、27、39??都是合数,但不是偶数,而是奇数,当然,除2以外的偶数都是合数,2是质数中唯一的偶数。

综上所述可知,“偶数都是合数”、“质数都是奇数”都是错误的。 关于这个问题,用逻辑学的知识可以简短地回答如下:

因为“有些偶数(如2)不是合数”,所以说“(所有的)偶数都是合数”是错误的。 因为“有些质数(如2)不是奇数”,所以说“(所有的)质数都是奇数”是错误的。

一般地说,特称否定判断“有些a不是b”真,则全称肯定判断“所有a都是b”假;“有些a不是b”假,则“所有a都是b”真。

事实上,如果a、b这两个概念的外延都不是空集。那么这两个概念的外延之间可能有以下五种关系:(图1-10 )

a b a ,b a b a b a b (1) (2) (3) (4) (5)

所有a是b 有些a不是b

图1-10

当a、b的外延关系是图(1)或图(2)时,“所有a是b”真,“有些a不是b”假;当a、b的外延关系是图(3)、图(4)或图(5)时,则“所有a是b”假,“有些a不是b”真。

62 为什么1既不是质数、也不是合数?

人们在研究正整数的分类时,按它的正约数个数的多少,作出了如下分类: ·只有一个正约数的正整数。这样的正整数只有一个,那就是“1”;

正整数 1 质数 合数 - -

43 ·除1和自身两个正约数外,没有其它正约数的正整数(叫做质数);

·除1和自身外,还有其它正约数的正整数(叫做合数)。(如图1-11) 图1-11 如果将1视为质数,那么将合数分解为质因数的积时将带来混乱。例如,将合数18分解质因数的结果就不是唯一的,而可以是下面的许多种结果:

18=2×3×3 18=1×2×3×3 18=1×1×2×3×3 ??

一个合数分解质因数时,如果有许多结果,那么将给分解本身以及分解的目的——求几个不同正整数的最大公约数和最小公倍数带来混乱。

如果将1视为合数,那么把这个合数分解质因数时,永远实现不了“分解”的目标,也就是永远达不到“把这个数表示为更小的正因数相乘的积”的目的。

因此,人们规定:“1”既不是质数,也不是合数。

63 怎样判定一个数是不是质数?怎样把一个合数分解质因数?

【质数】【素数】一个大于1的整数,如果除1和本身外,不能被其它正整数整除,这个数就称为“质数”,又称“素数”。如2,3,5,7,?都是质数。

【质数的判定方法】为了判定一个数是不是质数,可以用下面的方法。 一、试除法。

如47是不是质数?可以根据质数的定义,看它是不是除1和47外,不再有其它的约数。为此,可以分别用质数2,3,5,7,?去试除47,看看能不能整除它。

一般地,为了判定自然数N是不是质数,可以从小到大分别用质数p1,p2,?,pn去试除N。如果有pn|N,则N是合数;如果p1,p2,?,pn都不能整除N,pn≥N,则可断定N是质数。

在上面的例子中,2,3,5,7都不能整除47,7>47。因此可以断定:47是质数。 二、查质数表。

公元前300年左右,爱拉托斯散用“筛法”制定了最早的质数表。1909年莱茉(D. N. Lehmer)用改进的筛法编制了不超过107的质数表。1977年,查基尔(D. B. Zagier)用电子计算机编制了不超过5×107的质数表。

有了质数表,要判断一个数是不是质数,可以去查范围包括了这个数的质数表。如果这个数出现在表内,则它是质数;如果表内找不到它,则它是合数。书后所附的表就是1000以内的质数表。(参看本书P. )

公元前300年,欧几里得在它的《几何原本》第九卷中用反证法巧妙地证明了“质数有无穷多个”。即“质数没有最大的”。大质数的检验是十分困难的。截至本世纪初,人们已经知道的最大的质数是225964951-1,它有780多万位,是德国的一位眼科医生、数学爱好者马丁·诺瓦克发现的。

关于质数在自然数列中的分布,有许多著名的猜想。其中大多数至今尚未证明或证伪。

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