在△DFG和△EFC中
，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．
10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，
求证：BD=2CE．
考点： 分析： 解答：
全等三角形的判定与性质．
延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE． 证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．
∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE， 又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°． 又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD． ∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．
11．（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下： 如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH． 又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
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AB?PE+AC?PF=AB?CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．
考点： 分析：
等腰三角形的性质；三角形的面积．
解答：
（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH； （2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH． 解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH， ∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴
AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH． ∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴
×2CH?CH=49，∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4； ②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．
12．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论
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当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD
的长（请你直接写出结果）．
考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析： （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE
即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．
解答： 解：（1）故答案为：=．
（2）过E作EF∥BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°， ∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF， 在△DEB和△ECF中
，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．
（3）解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM， ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，
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∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴
=
，∴
=
，
∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EM，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，
∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=1
13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
考点： 分析：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出
∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可． 解：∠F=∠MCD，
理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°， 在△ACE和△ABE中
解答：
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