等腰三角形典型例题练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（ ）
A． 5cm
考点： 分析： 解答：
B．3 cm
C． 2cm
D．不 能确定
角平分线的性质．
由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解．
解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．
2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（ ）
A． 0
考点： 分析：
B．1
C． 2 D．3
解答：
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确． 解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC， ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=BD，故①正确；
∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°， ∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确； 又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．
二．填空题（共1小题）
3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 1：3 ．
5
考点： 分析：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
解答：
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①÷②，
=
，∴DF：AB=1：
，
①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，
，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．
三．解答题（共15小题）
4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证
DE=DF．
考点： 分析： 解答：
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．
过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可． 证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°， ∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°， ∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，
6
在△EMD和△FND中
，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．
5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
考点： 分析： 解答：
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．
解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO， ∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．
6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．
考点： 分析： 解答：
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形． △ABC是等腰三角形．
证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF， ∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC， ∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．
7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．
7
（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？
考点： 分析：
等边三角形的性质；等腰三角形的判定． （1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；
（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形． 解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
解答：
∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．
，
，
考点： 分析： 解答：
含30度角的直角三角形．
由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明． 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．
又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．
9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．
考点： 分析：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．
证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图， ∴∠1=∠2，∠4=∠3，
∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，
解答：
8