1解得sin B＝sin C＝. 2∵0° 以题试法 2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝??72A?cos，cos 2A?，且m·n＝. 22??(1)求角A的大小； (2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状． ??2A解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝?cos，cos 2A?， 2??A1＋cos A∴m·n＝4cos2－cos 2A＝4·－(2cos2A－1)＝22－2cos2A＋2cos A＋3. 7又∵m·n＝， 27∴－2cos2A＋2cos A＋3＝， 21解得cos A＝. 2π∵0 (2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝3， 122∴(3)＝b＋c－2bc·＝b＋c－bc.① 2222又∵b＋c＝23， ∴b＝23－c，代入①式整理得c2－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝ 3，于是a＝b＝c＝3，即△ABC为等边三角形． 与三角形面积有关的问题 典题导入 (2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋3asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c. (1)由acos C＋3asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为B＝π－A－C， 所以3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. ?π?1由于sin C≠0，所以sin?A－?＝. 6?2?又0＜A＜π，故A＝π. 31(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4. 2而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2. 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D. (1)求AB的长度； (2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． (1)在△ABC中，由余弦定理得 AC2＋BC2－AB282＋52－AB2cos C＝＝，① 2AC·BC2×8×5在△ABD中，由余弦定理得 AD2＋BD2－AB272＋72－AB2cos D＝＝，② 2AD·BD2×7×7