拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间（是所有数学空间的交集）它只具有开集．
（3）模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质． 定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集．
定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题． （4）模仿高等代数，给出了基的概念． （5）定义了序列及极限点．
思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质．同时也剖析了实数空间，使我们对实数空间的认识更深刻．
因此，我们在研究各种性质时，应不断探讨：R中是否具有这种性质？与R中的相应性质有何区别？
3．从拓扑空间构造新的拓扑空间
（1）子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构；
（2）积空间及其基的概念； （3）商空间的定义． 4．关于连通性
（1）不连通与连通的概念．这概念只是关于子集本身的性质，与母空间、子空间无关；
（2）如何判断连通与不连通； （3）R中连通子集的性质；
（4）局部连通、道路连通的定义及三种连通之间的蕴涵关系； （5）将一般空间中的点按连通、道路连通分类，即连通分支、道路连通分支．
（6）
二、常见证明方法
中子集的的连通性．
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（1）证明集合包含 相等
；
（2）证明连续映射：反射开集、闭集、邻域；
（3）证明开集：定理2.3.1．在连续映射下，是否是开集的原象； （4）证明基：定义及定理2.6.2； （5）证明凝聚点; 证明不是凝聚点: 证明闭包:
；
（6）证明序列收敛于x,用定义;证明序列收敛,用反证法； （7）证明连通,常用反证法,导出某个隔离子集是空集； （8）常在一个集合关系式的两边同取f、 （9）常用反证法．
期中模拟试卷 一、判断题
1. 集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑.( )
对
错
、闭包等；
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2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( )
对
错
3. 实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( )
对
错 4.
是X的两个拓扑，则是一个拓扑.( )
对
错
5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点．（ ）
对 错
6. 从（X，
）到（X，）的恒同映射必是连续的．（ ）
对
错
7. 拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集．（ ）
对
错
8.（X，T）为平庸空间，YX，则子空间Y的拓扑为{Y，}．（
对
错
二、填空题 1.
,其中
,
则包含3的所有开集为_______ 包含3的所有闭集为_______
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）
包含3的所有邻域为_______ 设A={1,2,3,4,5} 则A的导集为_______ A的闭包为_______
2.设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=_______．
三、证明题(参考答案) 1.设X有拓扑 证:
也是拓扑.
所以
也是拓扑.
2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 证:设
→x,
→y,则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=
>0,当i>>0,当i>
时有时有
.
对于B(x,ρ(x,y)/3),存在 对于B(y,ρ(x,y)/3),存在取N=max{
,
},则当i>N时有
B(x,ρ(x,y)/3) B(y,ρ(x,y)/3)
B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3) .矛盾
|x∈B}是点x处的
与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=3.设X是一个拓扑空间,一个邻域基.
是一个基,x∈X,则Bx={B∈
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