证明 假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B，因此Y
或者Y 或者Y
A．B,同理,
．
AUB．由于Y是连通的，根据定理4.1.4，
这两种情形都与假设矛盾．
定理4.1.6 设
，则
是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果是X的一个连通子集．
，＝A∪B．任意选取
连通，根据∩A，所以是连通的．
证明 设A和B是X中的两个隔离子集，使得x∈
，不失一般性，设x∈A．对于每一个γ∈Γ，由于
或者
；由于x∈
定理4.1.4，或者
．根据定理4.1.3，这就证明了
定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x，y∈Y存在X中的一个连通子集
证明 如果Y=证Y＝
我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2．2）．所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．
使得x，y∈
Y，则Y是X中的一个连通子集．
,任意选取a∈Y，容易验
，显然Y是连通的．下设Y≠
并且a∈．应用定理4.1.6，可见Y是连通的．
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拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质.
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．
以下定理4.1.8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．
定理4.1.8 设f:X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射．则f（X）是Y的一个连通子集．
证明 如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A和B使得f（X）＝A∪B．于是
（A）和
（B）是X的非空子集，并且
所以
（A）和（A）∪
（B）是X的非空隔离子集．此外， （B）＝
（A∪B）=
(f(X))=X
这说明X不连通．与定理假设矛盾．
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拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n＞0个拓扑空间
都具有性质p，蕴涵着积空间
例如，容易直接证明，如果拓扑空间间），则积空间
也具有性质p． 都是离散空间（平庸空
也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说
拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质．
根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质．为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间．
定理4.1.9 设 是连通空间．
证明 根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明． 首先我们指出：如果同，则
有一个连通子集同时包含x和y
使得对于任何
有
．
两个点有一个坐标相
是n个连通空间．则积空间
也
不失一般性，设定义映射k：由于
是取常值的映射，
为恒同映射，
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它们都是连续映射，其中分别是到第1和第2个坐标空间的
)是连通的．此外易
投射．因此，k是一个连续映射．根据定理4.1.8，k(见，
现在来证明：属于
，因此它同时包含x和y．
中任何两个点
同时，则
的某一个连通子集．这是因为这时若令
的一个连通子集
同时包含x和z，也有
根据前段结论，可见有的一个连通子集
同时包含y和z．由于z∈，因此根据定理4.1.6，
是连通的，它同时包含x和y． 于是应用定理4.1.7可见
因为n维欧氏空间
是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一
是一个连通空间．
是一个连通空间．
个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间
作业:
P116 3．5．6．8．14．
§4.2 连通性的某些简单应用
本节重点:
掌握实数空间R中的连通子集的“形状”
掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.
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