（2）有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用． 20.如图所示，正三棱柱
的高为2，点是
的中点，点是
的中点．
（1）证明：（2）若三棱锥
平面；
的体积为，求该正三棱柱的底面边长.
【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）连接（2）由
，推导出
，作
，由此能证明交
平面
1
．
平面
1
于点，由正三棱柱的性质，得的高
，
设底面正三角形边长为，则三棱锥边长．
【详解】（1）如图，连接所以在
平面 平面所以
平面
中，，
， .
,
，由此能求出该正三棱柱的底面
，因为是的中点，是的中点，
（2）
解：由等体积法，得因为是到平面如图，作
的中点，所以点到平面的距离的一半. 交
，
的距离是点，
于点，由正三棱柱的性质可知，
，
平面.设底面正三角形的
边长，则三棱锥的高
,
所以
所以该正三棱柱的底面边长为.
，解得，
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 21.已知函数（1）求（2）若
的解析式；
恒成立，则称
为
的一个上界函数，当（1）中的
为函数
在
处的切线方程为
.
的一个上界函数时，求的取值范围； （3）当
时，对（1）中的
；（2）
，讨论；（3）在
且
上，当时，
在区间时，
上极值点的个数.
或
【答案】（1）者
时，
无极值点；当
有1个极值点．；当有2个极值点．
【解析】
试题分析：（1）求导，根据导数的几何意义
，由题意知
，解方程组可得
的值．（2）
问题等价于恒成立，再转化为对恒成立．命名新函数令
求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，根据函数的单调性求其最值．令
其最小值大于等于0即可．（3）求导，讨论导数的正负得函数的单调区间．根据单调性求其最值．讨论最值与0的大小，结合函数图像判断零点个数． 试题解析：（1）（2）令
恒成立
则
单调递减，
，由已知对
恒成立． ，当
，故
）时，．
单调递增，当
时，
解得
（3）由（1）知
，
①当
时，
的解为
．
在（0，2）上单调递增，无极值点；
②当且，即且时，有2个极值点；
③当或，即或者时，有1个极值点．
综上知，在当
且
上，当时，
时，无极值点；当或者时，有1个极值点；
有2个极值点．
考点：1导数的几何意义；2用导数研究函数的性质．
22.在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数）.以坐标原点为极点，轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程； （2）设点的直角坐标为【答案】(1) 【解析】
，直线与曲线的交点为 (2)3
，求
.
的值.
【分析】 (1)把
展开得
，两边同乘得
,再代极坐标公
式得曲线的直角坐标方程.(2) 将代入曲线C的直角坐标方程得，
再利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求解. 【详解】（1）把两边同乘得
，展开得
①．
，
将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①， 即得曲线的直角坐标方程为
②．
（2）将代入②式，得，
点M的直角坐标为（0，3）．
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3. t1.t2=3 ∴ t1＜0， t2＜0 则由参数t的几何意义即得
.
【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 23.已知函数（1）解不等式（2）若方程【答案】（I）【解析】
分析：（I）根据零点分段法去掉绝对值符号，写出分段函数，即可解出不等式的解集；（II）方程点，求出函数详解：（I）
或
可化为或
；
在区间
有解等价于函数
和函数
图象在区间
上有交
； 在区间；（II）
.
有解，求实数的取值范围. .
的值域，即可求得实数的取值范围．
,
或
或
；