2018年中考数学真题分类汇编第一期专题26图形的相似与位似试题含解析

∴,∴CQ==2a, ∵BC=BP+PQ+CQ=

b+2a+2a=4a+

b

∵∠BAP=∠C,∠B=∠B=90°, ∴△ABP∽△CBA, ∴

=

∴BC===,

∴4a+b=

,a=b, ∴BC=4×

b+

b=

b,AB=a=b,

在Rt△ABC中,tanC==

(3)

在Rt△ABC中,sin∠BAC==,

过点A作AG⊥BE于G,过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H,∵∠DEB=90°, ∴CH∥AG∥DE, ∴

=

同(1)的方法得,△ABG∽△BCH ∴

设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n, ∵AB=AE,AG⊥BE, ∴EG=BG=4m, ∴GH=BG+BH=4m+3n, ∴,

∴n=2m,

∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在Rt△CEH中,tan∠BEC=

=

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【点评】此题是相似形综合题,主要考查了同角的余角相等,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,平行线分线段成比例定理,构造图1是解本题的关键.

8.(2018·湖南省常德·10分)已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N.

(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO;

(2)如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证:BM=AB; (3)在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证:AN=NC?AC.

【分析】(1)先判断出OD=OA,∠AOM=∠DON,再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM,判断出△DON≌△AOM即可得出结论;

(2)先判断出四边形DENM是菱形,进而判断出∠BDN=22.5°,即可判断出∠AMB=67.5°,即可得出结论;

(3)设CE=a,进而表示出EN=CE=a,CN=得,AC=

(a+b),

,b,即可

a,设DE=b,进而表示AD=a+b,根据勾股定理

2

同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN,得出∠EDN=∠DAE,进而判断出△DEN∽△ADE,得出进而得出a=得出结论.

【解答】解:(1)∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O, ∴OD=OA,∠AOM=∠DON=90°, ∴∠OND+∠ODN=90°,

b,即可表示出CN=b,AC=b,AN=AC﹣CN=

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∵∠ANH=∠OND, ∴∠ANH+∠ODN=90°, ∵DH⊥AE, ∴∠DHM=90°, ∴∠ANH+∠OAM=90°, ∴∠ODN=∠OAM, ∴△DON≌△AOM, ∴OM=ON;

(2)连接MN, ∵EN∥BD,

∴∠ENC=∠DOC=90°,∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD,∴EN=CN,同(1)的方法得,OM=ON, ∵OD=OD, ∴DM=CN=EN, ∵EN∥DM,

∴四边形DENM是平行四边形, ∵DN⊥AE, ∴?DENM是菱形, ∴DE=EN, ∴∠EDN=∠END, ∵EN∥BD, ∴∠END=∠BDN, ∴∠EDN=∠BDN, ∵∠BDC=45°, ∴∠BDN=22.5°, ∵∠AHD=90°,

∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°, ∵∠ABM=45°, ∴∠BAM=67.5°=∠AMB, ∴BM=AB;

(3)设CE=a(a>0) ∵EN⊥CD,

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∴∠CEN=90°, ∵∠ACD=45°, ∴∠CNE=45°=∠ACD, ∴EN=CE=a, ∴CN=

a,

设DE=b(b>0), ∴AD=CD=DE+CE=a+b, 根据勾股定理得,AC=

AD=

(a+b),

同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN, ∵∠OAD=∠ODC=45°,

∴∠EDN=∠DAE,∵∠DEN=∠ADE=90°, ∴△DEN∽△ADE, ∴∴∴a=∴CN=

, ,

b(已舍去不符合题意的) a=

b,AC=b,

b?

b=2b

2

(a+b)=b,

∴AN=AC﹣CN=

2

2

∴AN=2b,AC?CN=∴AN=AC?CN.

2

【点评】此题是相似形综合题,主要考查了正方形的性质,平行四边形,菱形的判定,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,判断出四边形DENM是菱形是解(2)的关键,判断出△DEN∽△ADE是解(3)的关键.

9.(2018·山东泰安·12分)如图,在菱形ABCD中,AC与BD交于点O,E是BD上一点,EF∥AB,∠EAB=∠EBA,过点B作DA的垂线,交DA的延长线于点G. (1)∠DEF和∠AEF是否相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由;

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