2018年中考数学真题分类汇编第一期专题26图形的相似与位似试题含解析

△PCF∽△PAC,从而得到PC=PE=5.然后求出sin∠PEF的值. 【解答】解:(1)证明:∵CE⊥AD于点E ∴∠DEC=90°, ∵BC=CD,

∴C是BD的中点,又∵O是AB的中点, ∴OC是△BDA的中位线, ∴OC∥AD

∴∠OCE=∠CED=90° ∴OC⊥CE,又∵点C在圆上, ∴CE是圆O的切线. (2)连接AC

∵AB是直径,点F在圆上 ∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA ∵∠EPF=∠EPA ∴△PEF∽△PEA ∴PE=PF×PA ∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA ∴△PCF∽△PAC ∴PC=PF×PA ∴PE=PC

在直角△PEF中,sin∠PEF=

=.

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【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点.利用三角形相似,说明PE=PC是解决本题的难点和关键.

14(2018·四川自贡·10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°.

(1)作出经过点B,圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)

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(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D,若⊙O的直径为5,BC=4;求DE的长.(如果用尺规作图画不出图形,可画出草图完成(2)问)

【分析】(1)作∠ABC的角平分线交AC于E,作EO⊥AC交AB于点O,以O为圆心,OB为半径画圆即可解决问题;

(2)作OH⊥BC于H.首先求出OH、EC、BE,利用△BCE∽△BED,可得【解答】解:(1)⊙O如图所示;

(2)作OH⊥BC于H.

=

,解决问题;

∵AC是⊙O的切线, ∴OE⊥AC,

∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°, ∴四边形ECHO是矩形, ∴OE=CH=,BH=BC﹣CH=, 在Rt△OBH中,OH=∴EC=OH=2,BE=

=2

=2, ,

∵∠EBC=∠EBD,∠BED=∠C=90°, ∴△BCE∽△BED, ∴∴∴DE=

==

, , .

【点评】本题考查作图﹣复杂作图,切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质、勾股定

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理、角平分线的定义,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

15(2018?湖北黄石?9分)在△ABC中,E、F分别为线段AB、AC上的点(不与A、B、C重合).

(1)如图1,若EF∥BC,求证:

(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由; (3)如图3,若EF上一点G恰为△ABC的重心,

,求

的值.

【分析】(1)由EF∥BC知△AEF∽△ABC,据此得

=

,根据

=(

)即可得证;

2

(2)分别过点F、C作AB的垂线,垂足分别为N、H,据此知△AFN∽△ACH,得=,

根据=即可得证;

(3)连接AG并延长交BC于点M,连接BG并延长交AC于点N,连接MN,由重心性质知S△

ABM

=S△ACM、=,设=a,利用(2)中结论知==、==a,

从而得==+a,结合==a可关于a的方程,解之

求得a的值即可得出答案. 【解答】解:(1)∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴

=

2

=()=?=;

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(2)若EF不与BC平行,(1)中的结论仍然成立,

分别过点F、C作AB的垂线,垂足分别为N、H, ∵FN⊥AB、CH⊥AB, ∴FN∥CH, ∴△AFN∽△ACH, ∴

=

∴==;

(3)连接AG并延长交BC于点M,连接BG并延长交AC于点N,连接MN,

则MN分别是BC、AC的中点, ∴MN∥AB,且MN=AB, ∴=

=,且S△ABM=S△ACM,

∴=, 设

=a,

由(2)知:==×=,==a,

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