2018年中考数学真题分类汇编第一期专题26图形的相似与位似试题含解析

∴PE=PE'﹣EE'=∴

同理可得,当点P在线段DE上时,,如图4,

综上所述,CP的长为

【点评】此题考查四边形的综合题,关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答,注意(2)分两种情况分析.

11. (2018年江苏省南京市)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G. (1)求证:△AFG∽△DFC;

(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.

【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD; (2)首先证明CG是直径,求出CG即可解决问题; 【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°, ∴∠CDF+∠ADF=90°, ∵AF⊥DE, ∴∠AFD=90°, ∴∠DAF+∠ADF=90°, ∴∠DAF=∠CDF,

∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,

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∴∠FCD+∠DGF=180°, ∵∠FGA+∠DGF=180°, ∴∠FGA=∠FCD, ∴△AFG∽△DFC.

(2)解:如图,连接CG.

∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF, ∴△EDA∽△ADF, ∴

=

,即

=

∵△AFG∽△DFC, ∴∴

==

, ,

在正方形ABCD中,DA=DC, ∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3, ∴CG=

∵∠CDG=90°, ∴CG是⊙O的直径, ∴⊙O的半径为.

=5,

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.

12. (2018·新疆生产建设兵团·12分)如图,PA与⊙O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交⊙O于点B.连接PB,AO,并延长AO交⊙O于点D,与PB的延长线交于点E. (1)求证:PB是⊙O的切线; (2)若OC=3,AC=4,求sinE的值.

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【分析】(1)要证明是圆的切线,须证明过切点的半径垂直,所以连接OBB,证明OB⊥PE即可.

(2)要求sinE,首先应找出直角三角形,然后利用直角三角函数求解即可.而sinE既可放在直角三角形EAP中,也可放在直角三角形EBO中,所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题

【解答】(1)证明:连接OB∵PO⊥AB, ∴AC=BC, ∴PA=PB

在△PAO和△PBO中

∴△PAO和≌△PBO ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴PB是⊙O的切线.

(2)连接BD,则BD∥PO,且BD=2OC=6 在Rt△ACO中,OC=3,AC=4 ∴AO=5

在Rt△ACO与Rt△PAO中, ∠APO=∠APO, ∠PAO=∠ACO=90° ∴△ACO~△PAO =∴PO=

,PA=

∴PB=PA=

在△EPO与△EBD中, BD∥PO ∴△EPO∽△EBD

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∴=, ,

解得EB=PE=∴sinE=

, =

【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质.能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中,是解答此题的关键.

13 (2018·四川宜宾·10分)如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线一点,且BC=CD,CE⊥AD于点E. (1)求证:直线EC为圆O的切线;

(2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值.

【考点】ME:切线的判定与性质;M5:圆周角定理;T7:解直角三角形.

【分析】(1)说明OC是△BDA的中位线,利用中位线的性质,得到∠OCE=∠CED=90°,从而得到CE是圆O的切线.

(2)利用直径上的圆周角,得到△PEF是直角三角形,利用角相等,可得到△PEF∽△PEA、

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