2.4 导数及其应用(压轴题)
高考命题规律
1.每年必考考题,一般在21题位置作为压轴题呈现. 2.解答题,12分,高档难度.
3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.
2015年 2016年 2020年高考必备 命题 角度1 命题 角度2 命题 角度3 命题 角度4 命题 角度5 2017年 2018年 2019年 ⅠⅡⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢ卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 利用导数研究函数的单调性 函数的单调性与极值、最值的综合应用 利用导数研究函数的零点或方程的根 导数与不等式 21 20 21 20 21 21 21 21 21 20 21 21 21 21 恒成立与存在性问题
命题角度1利用导数研究函数的单
调性
高考真题体验·对方向
1.(2019全国Ⅲ·20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2. (1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0 令f'(x)=0,得x=0或x=. 若a>0,则当x∈(-∞,0)∪(,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(0,3)时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,0),(3,+∞)单调递增,在(0,3)单调递减; 若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增; 1 ?? ?? ?? ?? 3??3 若a<0,则当x∈(-∞,?? 3)∪(0,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(?? 3,0)时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,?? ?? 3),(0,+∞)单调递增,在(3,0)单调递减. (2)当0 ?? 3)单调递减,在(3,1)单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为f(?? ??3 3)=-27 +2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a. 于是m=-??3 2,M={4-??,0 ??3 所以M-m={2-??+27,0 ?? 3 27,2≤??<3.当0 8 27,2). 当2≤a<3时,??3单调递增,所以M-m的取值范围是[8 27 27 ,1). 综上,M-m的取值范围是[ 8 27,2). 2.(2017全国Ⅱ·21)设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 解 (1)f'(x)=(1-2x-x2)ex. 令f'(x)=0得x=-1-√2,x=-1+√2. 当x∈(-∞,-1-√2)时,f'(x)<0; 当x∈(-1-√2,-1+√2)时,f'(x)>0; 当x∈(-1+√2,+∞)时,f'(x)<0. 所以f(x)在(-∞,-1-√2),(-1+√2,+∞)内单调递减,在(-1-√2,-1+√2)内单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex. 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0), 因此h(x)在[0,+∞)内单调递减, 而h(0)=1,故h(x)≤1, 所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1. 当0 2 所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0, 故ex≥x+1. 当0 2,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2- ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1. 当a≤0时,取x0=√5-1 2,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1. 综上,a的取值范围是[1,+∞). 典题演练提能·刷高分 1.已知函数f(x)=1 3x3+x2+ax+1. (1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围. 解 (1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1), 又f'(x)=x2+2x+a,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为-3, 所以f'(0)=a=-3,所以f'(x)=x2+2x-3. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-(-3) -3 3,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞),单调递减区间为(-3,1). (2)因为函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,所以f'(x)≥0.即对x∈[-2,a],只要f'(x)min≥0. 因为函数f'(x)=x2+2x+a的对称轴为x=-1, 当-2≤a≤-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(a), 由f'(a)=a2+3a≥0,得a≥0或a≤-3,所以此种情况不成立; 当a>-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(-1), 由f'(-1)=1-2+a≥0得a≥1, 综上,实数a的取值范围是[1,+∞). 2.已知函数f(x)=(2-m)ln x+1 ??+2mx. (1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性. 解 (1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= 2????2+(2-??)??-1 (????+1)(2??-1) ??2= ??2,由f'(1)=0,解得m=-1. 从而f(1)=-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1. 3 (2)由f'(x)= (????+1)(2??-1) (x>0), ??21 1 当m≥0时,函数y=f(x)的减区间为0,2,增区间为2,+∞. 当m<0时,由f'(x)= (????+1)(2??-1) 1??2=0,得x=-??,或x=1 2. 当m<-2时,y=f(x)的减区间为0,-1 1 11 ??和2,+∞,增区间为-??,2; 当m=-2时,y=f(x)的减区间为(0,+∞),没有增区间. 当-2 1 11 2和-??,+∞,增区间为2,-??. 综上可知:当m≥0时,函数y=f(x)的减区间为0,1 1 2,增区间为2,+∞; 当m<-2时,y=f(x)的减区间为0,-1 1 11 ??和2,+∞,增区间为-??,2; 当m=-2时,y=f(x)的减区间为(0,+∞),没有增区间; 当-2 1 11 2和-??,+∞,增区间为2,-??. 3.已知函数f(x)=ln x+?? ??-x+1-a(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在x>1,使f(x)+x<1-?? ??成立,求整数a的最小值. 解 (1)由题意可知,x>0,f'(x)=1??-1=-??2+??-?? ?????2??2, 方程-x2+x-a=0对应的Δ=1-4a, 当Δ=1-4a≤0,即a≥14 时,当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当0 1±√1-4??-√1-4??√1-4??4时,方程-x2+x-a=0的两根为2,且0< 12< 1+2, 此时,f(x)在1-√1-4??1+√1-4?? 2,2上f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 在0, 1-√1-4??2 , 1+√1-4?? 2 ,+∞上f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当a≤0时, 1-√1-4??1+√2<0,1-4??2>0, 此时当x∈0,1+√1-4?? 2 ,f'(x)>0,f(x)单调递增, 4