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(2)如果小王是理科学生，则他的数学成绩一定很好。如果小王不是文科生，则他一定是理科生。小王的数学成绩不好，所以小王是文科学生。 (1)设
p:今天是星期六 q:我们到颐和园玩 r:我们到圆明园玩 s:颐和园游人太多
前提：p?(q?r),s??q,p,s 结论：r 证明：
（1） s??q （2） （3） （4） （5） （6）
s ?q
前提引入
前提引入 （1）（2）假言推理 前提引入 前提引入 （4）（5）假言推理 （3）（6）析取三段论
p
p?(q?r)
q?r
（7） r
(2)设
p:小王是理科学生 q:小王数学成绩好 r:小王是文科学生
前提：p?q,?r?p,?q 结论：r 证明：
(1)p?q (2)?q (3)?p (4)?r?p
(5)r
前提引入 前提引入 （1）（2）拒取式 前提引入
(3)(4)拒取式
习题四
1.将下列命题0元谓词符号化： （1） 小王学习过英语和法语。
（2） 除非李建是东北人，否则他一定怕冷。 （3） 2大于3仅当2大于4. （4） 3不是偶数。 （5） 2或3是素数。
解（1）设一元谓词F(x):小王学习过x。a：英语，b：法语。（1）中命题符号化为0元谓词的蕴含式：F(a)?F(b)。
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（2）设一元谓词F(x):x是东北人。G(x)：x怕冷。a:李建。符号化为
?F(a)?G(a)。
（3）设二元谓词G(x,y)：x大于y；a:2,b:3,c:4.符号化为：
G(a,b)?G(a,c).
（4）设一元谓词F(x): x不是偶数。a：3。命题符号化为0元谓词的蕴含式：
F(a)。
（5） 设一元谓词F(x): x是素数。a：2，b：3. 符号化为
F(a)?F(b)。
2.在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为（a）,(b)条件时命题的真值： （1）凡有理数都能被2整除。 （2）有的有理数都能被2整除。 其中（a）个体域为有理数集合。 （b）个体域为实数集合。
解:F(x):x能被2整除；G(x):x是整数。 （a)(1)?xF(x),真值为0，（2）?xF(x)真值为1.
（b)（1）?x(G(x)?F(x))真值为0，（2）?x(G(x)?F(x))，真值为1.
3.在一阶逻辑中将下列命题符号化，并分别讨论个体域限制为（a）(b）条件时的命题的真值： (1)对任意的x，均有x2?2?(x?2)(x?2)。 (2)存在x，使得x?5?9。 (a)个体域为自然数集合。 (b)个体域为实数集合。
解：设F(x):x?2?(x?2)(x?2),G(x):x?5?9
（a)(1)?xF(x),真值为0，（2）?xG(x)真值为1. （b)(1)?xF(x),真值为1，（2）?xG(x)真值为1. 4.在一阶逻辑中将下列命题符号化： （1）没有不能表示成分数的有理数。 （2）在北京卖菜的人不全是外地人。 （3）乌鸦都是黑色的。
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（4）有的人天天锻炼身体。 解：
(1)??x(F(x)??G(x))或者?x(F(x)?G(x))，其中F(x):x是有理数，G(x):x能表示成分数
(2)??x(F(x)?G(x))或?x(F(x)??G(x))，其中F(x):x在北京卖菜，G(x):x是外地人 (3)?x(F(x)?G(x))，其中F(x):x是乌鸦，G(x):x是黑色的； (4)?x(F(x)?G(x))，其中F(x):x是人，G(x):x天天锻炼身体。 5.在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1)所有的火车都比轮船跑得快。 (2)有的火车比有的汽车快。
(3)不存在比所有火车都快的汽车。 (4)说凡是汽车就比火车慢是不对的。 解：
G(y):y是轮船，H(x,y):x（1）?x?y(F(x)?G(y)?H(x,y))，其中F(x):x是火车，
比y快；
（2）?x?y(F(x)?G(y)?H(x,y))，其中F(x):x是火车，G(y):y是汽车，H(x,y):x比y快；
（3）??x(G(x)??y(F(y)?H(x,y))，其中F(x):x是火车，G(y):y是汽车，
H(x,y):x比y快；
（4）??x(G(x)??y(F(y)?H(x,y))，其中F(x):x是火车，G(y):y是汽车，
H(x,y):x比y慢；
6.在下列命题符号化，个体域为实数集合R，并指出各命题的真值： （1）对所有的x，都存在y，使得x*y?0。 （2）存在着x，对所有y都有x*y?0。 （3）对所有的x，都存在y，使得y?x?1。 （4）对所有的x和y，都有y*x?x*y。 （5）对任意的x和y，都有y*x?x?y。 （6）对任意的x，存在y，使得x?y?0。
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解：各命题符号化如下： （1）?x?y(x*y?0)， （2）?x?y(x*y?0)， （3）?x?y(y?x?1)， （4）?x?y(y*x?x*y)， （5）?x?y(y*x?x?y)， （6）?x?y(x2?y2?0)。
7.将下列各公式翻译成自然语言，个体域为整数集Z, 并判断各命题的真假： (1)?x?y?z(x?y?z) (2)?x?y(x*y?1) (3)?x?y?z(x?y?z)
解：
（1）对所有整数x和y，存在整数z，使得x?y?z，为真命题。 （2）对任意整数x，存在整数y，使得x*y?1，为假命题。 （3),存在整数x，使得对任意整数y与z，均有x?y?z，为假命题。
8.指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现： (1)?x(F(x)?G(x,y)) (2)?xF(x,y)??yG(x,y)
(3)?x?y(F(x,y)?G(y,z))??xH(x,y,z) 解：
（1）指导变元为x，全称量词?的辖域为F(x)?G(x,y)。其中x是约束出现的，y是自由出现的。
（2）蕴含式前件?xF(x,y)中，指导变元为x，全称量词?的辖域为F(x,y)，其中x是约束出现的，y是自由出现的。
（3）在?x?y(F(x,y)?G(y,z))，指导变元为x和y，辖域为(F(x,y)?G(y,z))，其中x和y约束出现的，而z是自由出现的。在?zH(x,y,z)中，指导变元为z，辖域为H(x,y,z)，
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