2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高一(下)期末数学试卷

15.(14分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1=25,a4=16, (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn的最大值.

【解答】解:(1){an}是公差为d的等差数列 a1=25,a4=16, 可得d=

=

=﹣3,

则an=a1+(n﹣1)d=25﹣3(n﹣1)=28﹣3n,n∈N*; (2)Sn=na1+n(n﹣1)d =25n﹣n(n﹣1) =﹣(n2﹣当n=

n)=﹣(n﹣

,但

)2+

时,Sn=∈(8,9),

由S8=200﹣12×7=116; S9=225﹣12×9=117; 则Sn的最大值为117.

16.(14分)已知不等式ax2+(a+b)x+1>0(a,b∈R,a≠0). (1)若关于x的不等式的解集为{x|﹣1<x<3},求a,b的值; (2)当

时,不等式ax2+(a+b)x+1>0对于x∈R恒成立,求a的值.

【解答】解:(1)不等式ax2+(a+b)x+1>0(a,b∈R,a≠0). ∵不等式的解集为{x|﹣1<x<3},

∴方程ax2+(a+b)x+1=0的两个根分别为﹣1,和3. 韦达定理可得:﹣1+3=解得:a=(2)当

,b=1

时,可得不等式ax2+(a+)x+1>0对于x∈R恒成立,

,﹣1×3=

即2ax2+(2a+1)x+2>0. ∴

,即

解得:

17.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边a,b,c,且bcosB是acosC,ccosA的等差中项,△ABC的面积等于(1)求角B的值;

(2)求△ABC周长的最小值.

【解答】解:(1)∵bcosB是acosC,ccosA的等差中项, ∴acosC+ccosA=2bcosB,

由正弦定理,得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB, 即sin(A+C)=2sinBcosB, ∵A+C=π﹣B,0<B<π, ∴sin(A+C)=sinB≠0, ∴cosB=, ∴B=

,S△ABC=acsinB=

ac=

, .

(2)由B=∴ac=4, ∴a+c≥2

=4,

=,

由余弦定理得:得

即a2+c2﹣ac=b2,即b2≥ac=4, 即b≥2 故a+b+c≥6,

即△ABC周长的最小值为6.

18.(16分)某地一圆形广场的边缘分别有一居民楼及一办公大楼,某单位拟在该广场举办一次大型公益活动,需在广场的圆弧边上安装一个广播,为减少对居民及办公人员的影响,决定先进行噪音测试,工作人员分别在居民楼及办公大楼内放置A,B两个测试仪(假设A,B两个测试仪和广播在同一平面上,AB可近似看成圆形广场的直径,AB=100m).且由于装修材质不同,隔音效果也不同,

已知噪音与到测试点距离的平方成反比,到A测试点的比例系数为k(k>0),到B测试点的比例系数是4k.规定总噪音y是到A,B两侧试点的噪音之和,当广播装在AB弧的中点时,总噪音为0.2.设广播到A测试点的距离为x. (1)求k的值;

(2)问当x为多少时,y最小.

【解答】解:(1)∵AC=x,则BC=∴y=

+

当广播装在AB弧的中点时,总噪音为0.2.即x=50∴0.2=

+

时,

解得k=200, (2)由(1)可得y=令104+3x2=t,则x2=∴y=

+, =

=

=

∵t+∴

≥2

=4×104,当且仅当t2=4×108即t=2×104时取等号, ≥

=0.06.

∴当y取得最小值时,104+3x2=2×104,即x=

19.(16分)在△ABC中,角A,B,C所对边为a,b,c,已知c=1,sinA+2sinB=2sinC.

(1)求证:;

(2)求角C的范围; (3)求

的最小值.

【解答】证明:(1)∵sinA+2sinB=2sinC, ∴a+2b=2c=2,即a=2﹣2b, ∵a>0,2﹣2b>0,即b<1.

又a﹣b<c=1,即2﹣2b﹣b<1,解得b∴

解:(2)由(1)可得a=2﹣2b, 由余弦定理,得:cosC====﹣+∵

, ,

<1,

∴﹣<﹣+

即:﹣<cosC<1, 故得:0<C<(+

=

+

=

+

3=

).

当且仅当∴

,即b=时取等号,

的最小值为3.

20.(16分)已知正项数列{an}中,a1=2,数列{an}的前n项和为Sn,且

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