山东省实验中学2019届高三4月上旬质量检测数学(文)试题(解析版)

(1)根据上述统计数据填下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异;

(2)现从年龄在[70,80]内的5名被调查人中任选两人去参加座谈会,求选出两人中恰有一人支持新农村建设的概率. 参考数据:

参考公式:

2列联表见解析,无95%的把握(2) 【答案】(1)2×【解析】 【分析】

(1)根据频数分布填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;

(2)5人中,支持新农村建设的为2人,不支持的为3人,两人中恰有一人支持的情况数目,除以基本事件总数,可得答案.

【详解】解:(1)根据频数分布,填写2×2列联表如下: 支持 不支持 合计 年龄低于50岁的人数 40 20 60 年龄不低于50岁的人数 合计 20 20 40 60 40 100

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计算观测值

对照临界值表知,无95%的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异; (2)法一(列举法):A4,A5,

5人中选2人,所有情况如下:

的5名被调查者中,支持的记为A1,A2,不支持的记为A3,

共10种,而符合题意的情况有6种,分别是所以,两人中恰有一人支持新农村建设的概率为

法二: .

【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,也考查了求古典概型的概率问题,属于中档题. 19.如图所示,在底面为正方形的四棱锥P—ABCD中,AB=2,PA=4,PB=PD=BD相交于点O,E,G分别为PD,CD中点, (1)求证:EO//平面PBC;

(2)设线段BC上点F满足BC=3BF,求三棱锥E—OFG的体积.

,AC与

【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】

(1)由EO//PB,可证EO//平面PBC;

(2)由勾股定理可证PA⊥AB,且PA⊥AD,故PA⊥面ABCD,E到底面的距离等于P点到

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底面距离的一半,再求出△FOG的面积,利用体积计算公式即可求解.

【详解】(1)证明: E为PD中点,O为BD中点, EO 为△PBD中位线,EO//PB ,又

,

, EO//平面PBC.

, ,同理可得

.

(2) AB=2,PA=4,PB=PD=

,

,

面ABCD,

故P到面ABCD的距离为4,E到面ABCD的距离

【点睛】本题考查线面平行的证明,以及三棱锥的体积公式,找出平面的垂线是关键. 20.设函数(1)证明:当

时,

. ; 对任意

恒成立,求实数的取值范围.

(2)若关于的不等式【答案】(1)见解析(2)【解析】 【分析】 (1)对(2)设时对

都有求导

,判断函数,对

求导

在是增函数可证.

,对a讨论,判断

单调性,何

,何时至少能找到一个函数值大于0,确定a的范围.

,∴

.

为增函数,∴

,得证.

.

【详解】(1)∵当∴

时,在

(2)设则当

时,

,∴,∴在为减函数,

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∴当当∵

时,

时,

恒成立,即不等式

上有

对任意

,故不合题意;

恒成立;

对任意恒成立;

∴,

∴当综上:

.

时,,故不合题意;

【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用,恒成立问题的求解,考查分类讨论、逻辑推理及计算能力,属于难题. 21.已知椭圆面积的最大值为

B,的左、右顶点分别为A,点P在椭圆O上运动,若△PAB

,椭圆O的离心率为.

(1)求椭圆O的标准方程; (2)过B点作圆E:

的两条切线,分别与椭圆O交于两点C,D(异

于点B),当r变化时,直线CD是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由. 【答案】(1)【解析】 【分析】

(2)直线

恒过定点

.

(1)根据已知条件列方程组,解方程组可得.

(2)设过B的切线方程关系,把直线

,由d=r,利用韦达定理得两切线PC、PD的斜率、

代入椭圆方程求出C、D点坐标,利用两点式建立

CD方程,化简方程可得.

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