考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: (1)等腰△PAB中,证出中线AD⊥PB.由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,再利用线面垂直判定定理,即可证出AD⊥平面PBC;
(2)连结DC,交PE于点G,连结FG、DE.利用线面平行的性质定理,证出AD∥FG.而DE为△BPC的中位线,证出△DEG∽△CPG,利用相似三角形的性质和平行线的性质,即可算出
的值.
解答: 解:(1)∵BC⊥平面PAB,AD?平面PAB,∴BC⊥AD. ∵PA=AB,D是PB的中点,∴AD⊥PB
∵PB、BC是平面PBC内的相交直线,∴AD平面PBC; (2)连结DC,交PE于点G,连结FG、DE
∵AD∥平面PEF,AD?平面ADC,平面ADC∩平面PEF=FG, ∴AD∥FG.
∵D、E分别是PB、BC的中点,∴DE为△BPC的中位线, 因此,△DEG∽△CPG,可得∴
=
,即
的值为.
,
点评: 本题在特殊的三棱锥中证明线面垂直,并求线段的比值.着重考查了线面垂直的定义与判定、线面平行性质定理和相似三角形的计算等知识,属于中档题.
20.已知数列{an}的首项为a(a≠0),前n项和为
,且有Sn+1=tSn+a
(t≠0),bn=Sn+1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
*
(Ⅱ)当t=1时,若对任意n∈N,都有|bn|≥|b5|,求a的取值范围;
(Ⅲ)当t≠1时,若cn=2+b1+b2+…+bn,求能够使数列{cn}为等比数列的所有数对(a,t).
考点: 数列与不等式的综合;等比数列的性质;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.
分析: (Ⅰ)由已知条件推导出{an}是首项为a,公比为t的等比数列,由此能求出
.
(Ⅱ)当t=1时,Sn=an,bn=an+1,当a>0时,不合题意;当a<0时,由题意知:b4>0,b6<0,且
,由此能求出a的取值范围.
(Ⅲ)
,{cn}为等比数列,从而
,由此能求出满足条件
的数对是(1,2). 解答: 解:(Ⅰ)当n=1时,由S2=tS1+a,解得a2=at, 当n≥2时,Sn=tSn﹣1+a,
∴(Sn+1﹣Sn)=t(Sn﹣Sn﹣1),即an+1=tan 又a1=a≠0,综上有
,
即{an}是首项为a,公比为t的等比数列, ∴
.
(Ⅱ)当t=1时,Sn=an,bn=an+1,
当a>0时,{bn}单调递增,且bn>0,不合题意;
当a<0时,{bn}单调递减,由题意知:b4>0,b6<0, 且
解得
综上a的取值范围为
,
.
(Ⅲ)∵t≠1,∴,
∴
=
由题设知{cn}为等比数列,
∴,
解得,
即满足条件的数对是(1,2). 点评: 本题考查数列{an}的通项公式的求法,考查a的取值范围的求法,考查能够使数列{cn}为等比数列的所有数(a,t)的求法,解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用.
21.如图,已知圆G:x2
﹣x+y2
=0,经过抛物线y2
=2px的焦点,过点(m,0)(m<0)倾斜角为
的直线l交抛物线于C,D两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部,求m的取值范围.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析: (1)圆G:x2﹣x+y2=0与x轴交于(0,0),(1,0),从而抛物线y2
=2px的焦点F(1,0),由此能求出抛物线的方程. (2)设C(x1,y1),D(x2,y2),则(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2>0,设l的方程为:
,
则
,由,得x2
﹣(2m+12)
x+m2
=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出m的取值范围.
解答: 解:(1)∵圆G:x2﹣x+y2
=0与x轴交于(0,0),(1,0),
圆G:x2﹣x+y2=0,经过抛物线y2
=2px的焦点,
∴抛物线y2
=2px的焦点F(1,0),
∴抛物线的方程为:y2
=4x. (2)设C(x1,y1),D(x2,y2), ∵
,则(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2>0,
设l的方程为:,
于是
即
由,得x﹣(2m+12)x+m=0,
22
∴于是
,
,
故,
22
又△=(2m+12)﹣4m>0,得到m>﹣3.
∴.
点评: 本题考查抛物线的方程的求法,考查m的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意圆、韦达定理、抛物线等基础知识的灵活运用.
22.已知函数f(x)=x﹣1,g(x)=a|x﹣1|.
(Ⅰ)若当x∈R时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (Ⅱ)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[﹣2,2]上的最大值.
考点: 函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)按照x与1进行讨论,分离常数得
,令
,去
2
掉绝对值符号化简解析式,由一次函数的性质分别求出φ(x)的范围,由恒成立问题求出a的范围,最后取并集; (Ⅱ)由题意求出h(x),按照x与1、﹣1的关系去掉绝对值符号化简解析式,由区间和对称轴对a进行分类讨论,分别由二次函数的性质判断出h(x)在区间上的单调性,并求出对应的最大值.
解答: 解:(Ⅰ)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立,即(x﹣1)≥a|x﹣1|(*)对x∈R恒成立,
①当x=1时,(*)显然成立,此时a∈R; ②当x≠1时,(*)可变形为
,令
2
因为当x>1时,φ(x)>2,当x<1时,φ(x)>﹣2,所以φ(x)>﹣2,故此时a≤﹣2. 综合①②,得所求实数a的取值范围是a≤﹣2.
2
(Ⅱ)因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x﹣1|+a|x﹣1|=…
(10分)
①当时,可知h(x)在[﹣2,1]上递减,在[1,2]上递增,
且h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较,此时h(x)在[﹣2,2]上的最大值为3a+3. ②当在
时,h(x)在[﹣2,﹣1],
,[1,2]上递增,且h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+3,
上递减,
,
经比较,知此时h(x)在[﹣2,2]上的最大值为3a+3. ③当在
时,h(x)在[﹣2,﹣1],
,[1,2]上递增,且h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+3,
上递减,
,
经比较,知此时h(x)在[﹣2,2]上的最大值为a+3. ④当在
,
时,h(x)在
,
上递减,
上递增,且h(﹣2)=3a+3<0,h(2)=a+3≥0,
经比较,知此时h(x)在[﹣2,2]上的最大值为a+3. 当
时,h(x)在[﹣2,1]上递减,在[1,2]上递增,
此时h(x)在[﹣2,2]上的最大值为h(1)=0. ⑤当
h(x)在[﹣2,],[1,2]上最大值为h(1)=0; ⑥当
,即a≤﹣4时,h(x)在[﹣2,1]上递增,在[1,2]上递减,
时,
]上递减,在[
,1],[
,2]上递增,此时h(x)在[﹣2,
故此时h(x)在[﹣2,2]上的最大值为h(1)=0.
综上所述,当a≥0时,h(x)在[﹣2,2]上的最大值为3a+3; 当﹣3≤a<0时,h(x)在[﹣2,2]上的最大值为a+3; 当a<﹣3时,h(x)在[﹣2,2]上的最大值为0. 点评: 本题考查含有绝对值的函数的性质,一次函数、二次函数的性质,恒成立问题转化为求函数的最值问题,以及分类讨论,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,在高考试题中占有重要的位置.