考点： 直线与平面所成的角． 专题： 空间角． 分析： 利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=
，可得结论．
解答： 解：如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角， ∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角． ∵
=
=
． =
AA1，解得
=1，
．
∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P=
在Rt△AA1P中，tan∠APA1=∴∠APA1=60°． 故答案为：60°．
=，
点评： 本题考查线面角，掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．
15．已知sinα，cosα是关于x的方程x﹣ax+a=0的两个根，则sinα+cosα=
考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．
33
分析： 利用韦达定理化简求得a的值，再利用立方和公式求出sinα+cosα 的值． 解答： 解：由题意利用韦达定理可得sinα+cosα=a，sinα?cosα=a，
2
∴1+2a=a，解得 a=1±．
2
再根据判别式△=a﹣4a≥0，可得 a≤0，或 a≥4， ∴a=1﹣．
2
3
3
．
∴sinα+cosα=（sinα+cosα）（1﹣sinαcosα）=a（1﹣a）=a﹣a=（1﹣﹣2+，
332
）﹣（1﹣）=
2
故答案为：． 点评： 本题主要考查韦达定理、立方和公式的应用，属于基本知识的考查．
16．已知O是△ABC外心，若
考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 分别在
两边同乘以
能够得到
，
，则cos∠BAC= ．
，所以联立这两个式子即可求出cos∠BAC．
解答： 解：如图，取AB中点D，AC中点E，并连接OD，OE，则： cos∠BAO=
，cos∠CAO=
；
∴在
两边同乘以
=得：
，；
?cos∠BAC；
∴同理在
①；
两边同乘以
得：
②；
由①得，
，带入②得：
，由①知∠BAC＞0；
∴故答案为：
．
点评： 考查余弦函数的定义的运用：cos
17．已知函数f（x）=﹣x，对的取值范围为 （﹣∞，
] ．
，以及向量的数量积的计算公式．
，有f（1﹣x）≥恒成立，则实数a
考点： 函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： 由f（x）=﹣x为[把f（1﹣x）≥x∈[
]上的减函数，可得对
，有f（x）＞0，恒成立，结合
时，f（1﹣x）?f（x）取得
恒成立转化为a≤f（1﹣x）?f（x）对
]，可得当f（1﹣x）=f（x），即
]，有1﹣x∈[
最小值得答案．
解答： 解：∵（fx）=﹣x为[
]上的减函数，∴
，
则f（1﹣x）≥又x∈[
恒成立转化为a≤f（1﹣x）?f（x）对
]，
，也就是
．
时，
恒成立，
]，1﹣x∈[
∴当f（1﹣x）=f（x），即
∴a．
]．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，故答案为：（﹣∞，
]．
点评： 本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，解答此题的关键是明确当x=时函数f（1﹣x）?f（x）取得最小值，属中高档题．
三、解答题
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=，求2a+c的取值范围．
考点： 正弦定理；余弦定理．
bsinC﹣a﹣c=0．
专题： 解三角形．
分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出sin（B﹣
）的值，根据B为三角
形内角，确定出B的度数即可；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理求出2R的值，2a+c利用正弦定理化简，把2R的值代入并利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出范围即可．
解答： 解：（1）由正弦定理知：sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC=0，
把sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入上式得：sinBsinC﹣cosBsinC﹣sinC=0， ∵sinC≠0， ∴
sinB﹣cosB﹣1=0，即sin（B﹣
）=，
∵B为三角形内角， ∴B=
；
=
=2，
（2）由（1）得：2R=
∴2a+c=2R（2sinA+sinC）=4sinA+2sin（其中sinθ=∵A∈（0，
，cosθ=），
，
﹣A）=5sinA+cosA=2sin（A+θ），
∴2∈（，2]，
则2a+c的范围为（，2]． 点评： 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，求
的值．