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【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换以及正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意确定合适的公式化简求解.属于中档题.
18．（1）见解析（2）不存在点P使之成立.见解析 【解析】 【分析】
(1) 在线段CP,DQ上分别取点M,N,使得QN?PM?1,进而得到MNPPQ与
EFPMN即可.
(2) 以O为原点,分别以OA,OB,及过O且与AA1平行的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ的法向量与平面EFPQ的法向量,再设BF?a,a??1,3?,再根据二面角的计算方法分析是否存在a??1,3?使得二面角为的余弦值为【详解】
解：（1）证法1：在线段CP,DQ上分别取点M,N,使得QN?PM?1,易知四边形MNQP是平行四边形,所以MNPPQ,联结FM,MN,NE, 则AE?ND,且AEPND
所以四边形ADNE为矩形,故ADPNE,同理,FMPBCPAD
且NE?MF?AD,故四边形FMNE是平行四边形,所以EFPMN,所以EFPPQ 故E,F,P,Q四点共面
又EFPPQ,EF?平面BPQ,PQ?平面BPQ, 所以EFP平面PQB.
5即可. 5答案第11页，总19页
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证法2：因为直棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形,∴AC?BD,AA1?底面ABCD,设
AC,BD交点为O,以O为原点,分别以OA,OB,及过O且与AA1平行的直线为x,y,z轴建
立空间直角坐标系.则有A?2,0,0?,B?0,1,0?,C??2,0,0?,D?0,?1,0?,设BF?a,
uuura??1,3?,则E?2,0,a?1?,F?0,1,a?,P??2,0,a?1?,Q?0,?1,a?,EF???2,1,1?,uuurQP???2,1,1?,所以EFPPQ,故E,F,P,Q四点共面.又EFPPQ,EF?平面BPQ,PQ?平面BPQ,所以EFP平面PQB.
uuuruuur（2）平面EFPQ中向量EF???2,1,1?,EQ???2,?1,1?,设平面EFPQ的一个法向量为ur??2x1?y1?z1?0?x1,y1,z1?,则??2x?y?z?0,可得其一个法向量为n1??1,0,2?.
?111uuuruuur平面BPQ中,BP???2,?1,a?1?,BQ??0,?2,a?,设平面BPQ的一个法向量为 uurr??2x2?y2??a?1?z2?0,所以取其一个法向量n2??a?2,2a,4?. n??x2,y2,z2?,则??2y?az?022?uruur若cosn1,n2?uruurn1?n25??52,则?a?10??5a2?4a?8, 5?a?2?2?a2?16即有a2?4a?23?0,a??1,3?,解得a?2?32??1,3?,故不存在点P使之成立.
答案第12页，总19页
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【点睛】
本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.
3x2y219．（1）??1（2）是定值，为.
442【解析】 【分析】
(1) 设?BOE??,再根据三角函数的关系可得xP?2cos?,yP?2sin?,进而消参求得轨迹C的方程即可.
(2) 设直线l的方程为x?my?2,再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简
11?,代入韦达定理求解即可. MNOQ2【详解】
解：方法一：（1）如图设?BOE??,则B?2cos?,2sin?
?D?2cos?,2sin??,所以xP?2cos?,yP?2sin?.
x2y2所以动点P的轨迹C的方程为??1.
42方法二：（1）当射线OD的斜率存在时,设斜率为k,OD方程为y?kx,
答案第13页，总19页
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?y?kx242222,,所以xP?2yP?4即有动点P的轨迹Cy?x?由?2得同理得PP2221?k1?k?x?y?2x2y2的方程为??1.当射线OD的斜率不存在时,点0,?2也满足.
42??（2）由（1）可知E为C的焦点,设直线l的方程为x?my?2（斜率不为0时）且设点
??x?my?222m?2y?22my?2?0 M?x1,y1?,N?x2,y2?,由?2得??2??x?2y?4?22m2y?y???211m?2?12m?2??,所以 所以?22MN4m?1??1?my?y12?yy??2122?m?2?又射线OQ方程为y??mx,带入椭圆C的方程得x2?2?my??4,即xQ?224 21?2m2211?2m4m2?, yQ?2224m?1OQ??1?2m11m2?21?2m23???? 所以
MNOQ24?m2?1?4?m2?1?4113?. 又当直线l的斜率为0时,也符合条件.综上,2为定值,且为MNOQ4【点睛】
本题主要考查了轨迹方程的求解以及联立直线与椭圆的方程求解线段弦长与证明定值的问题,属于难题. 20．（1）【解析】 【分析】
(1)分①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次三种情况进行求和即可.
(2)同(1),分别计算三种情况的概率化简求和,再代入p1?p2?24（2）理论上至少要进行27轮游戏.p1?p2? 938422可知P?p1p2?3p1p2,33答案第14页，总19页