2017苏教版高一数学直线与方程教案 doc

3.1.1直线的倾斜角和斜率(1)

一、教学目标

知道一次函数的图象是直线,了解直线方程的概念,掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式.

二、重难点

1.重点:通过对一次函数的研究,学生对直线的方程已有所了解,要对进一步研究直线方程的内容进行介绍,以激发学生学习这一部分知识的兴趣;直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直线位置关系的重要依据,要正确理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫.

2.难点:一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点.由于以后还要专门研究曲线与方程,对这一点只需一般介绍就可以了.

三、教学过程

(一)复习一次函数及其图象

已知一次函数y=2x+1,试判断点A(1,2)和点B(2,1)是否在函数图象上. 初中我们是这样解答的: ∵A(1,2)的坐标满足函数式, ∴点A在函数图象上.

∵B(2,1)的坐标不满足函数式, ∴点B不在函数图象上.

现在我们问:这样解答的理论依据是什么?(这个问题是本课的难点,要给足够的时间让学生思考、体会.)

讨论作答:判断点A在函数图象上的理论依据是:满足函数关系式的点都在函数的图象上;判断点B不在函数图象上的理论依据是:函数图象上的点的坐标应满足函数关系式.简言之,就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系.

(二)直线的倾斜角

一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角,如图中的α.特别地,当直线l和x轴平行时,我们规定它的倾斜角为0°,因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.

直线倾斜角角的定义有下面三个要点:(1)以x轴正向作为参考方向(始边);(2)直线向上的方向作为终边;(3)最小正角.

(三)直线的斜率

倾斜角不是90°的直线.它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示,即

k?tan?

(四)过两点的直线的斜率公式

在坐标平面上,已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),由于两点可以确定一条直线,直线P1P2就是确定的.当x1≠x2时,直线的倾角不等于90°时,这条直线的斜率也是确定的.怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率?

P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2,再作P1Q⊥P2M,垂足分别是M1、M2、Q.那么: α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)

在图甲中:tan??QP2y2?y1 ?P1Qx2?x1在图乙中:tan???tan?P2P1Q?QP2y2?y1 ?QPx?x12

如果P1P2向下时,用前面的结论课得:

tan??y1?y2y2?y1 ?x1?x2x2?x综上所述,我们得到经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜

率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

(五)例题

例1 如图,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l2⊥l1,求l1、l2的斜率. 解:

∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,

?k2?tan1200??3

k1?tan300?33本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和

及它们之间的关系的,可由学生课堂练习,学生演板.

斜率以

例2 求经过A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角.

∴tgα=-1. ∵0°≤α<180°, ∴α=135°.

因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是135°.

讲此例题时,要进一步强调k与P1P2的顺序无关,直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得.

(六)课后小结

(1)直线的方程的倾斜角的概念. (2)直线的倾斜角和斜率的概念. (3)直线的斜率公式. 三、布置作业

1.在坐标平面上,画出下列方程的直线: (1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0

作图要点:利用两点确定一条直线,找出方程的两个特解,以这两个特解为坐标描点连线即可.

2.求经过下列每两个点的直线的斜率,若是特殊角则求出倾斜角: (1)C(10,8),D(4,-4);

解:(1)k=2 .

(3)k=1,α=45°.

3.已知:a、b、c是两两不相等的实数,求经过下列每两个点的直线的倾斜角:(1)A(a,c),(b,c);(2)C(a,b),D(a,c);(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).

解:(1)α=0°;(2)α=90°;(3)α=45°.

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