(1)证明：四边形EFGH是矩形；
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值． [解析] (1)由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC， BD＝DC＝2，AD＝1，
由题设，BC∥平面EFGH， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 又∵AD⊥DC，AD⊥BD，DC∩BD＝D， ∴AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．
(2)解法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，
B(2,0,0)，C(0,2,0)，DA＝(0,0,1)，BC＝(－2,2,0)，BA＝(－2,0,1)．
→→→
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， →→
∵EF∥AD，FG∥BC，∴n2DA＝0，n2BC＝0， 得?
??z＝0，
??－2x＋2y＝0，
取n＝(1,1,0)，
→
BA2n210→
∴sinθ＝|cos〈BA，n〉|＝||＝＝.
→5532|BA||n|解法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， ∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD、DC的中点，得
E(1,0，)、F(1,0,0)、G(0,1,0)．
1→→→
∴FE＝(0,0，)，FG＝(－1,1,0)，BA＝(－2,0,1)．
2设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
12
→→
则n2FE＝0，n2FG＝0， 1??z＝0，得?2??－x＋y＝0，
取n＝(1,1,0)，
→
BA2n210→
∴sinθ＝|cos〈BA，n〉|＝||＝＝.
→5532|BA||n|
20．(文)(20142唐山市二模)在公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，
a11成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
1111
(2)设bn＝＋＋?＋，证明： ≤bn＜1.
anan＋1a2n－12[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得
??a1＋2d＋a1＋9d＝15，
?2
??a1＋4d?＝?a1＋d??a1＋10d?.?
注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1. 所以an＝n＋1. (2)由(1)可知bn＝
111111
＋＋?＋，bn＋1＝＋＋?＋， n＋1n＋22nn＋2n＋32n＋2
11111
因为bn＋1－bn＝＋－＝－＞0，
2n＋12n＋2n＋12n＋12n＋2所以数列{bn}单调递增．
bn≥b1＝. 又bn＝
111111n＋＋?＋≤＋＋?＋＝＜1， n＋1n＋22nn＋1n＋1n＋1n＋1
12
1
因此≤bn＜1.
2
(理)已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1－an＝an＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝n(n∈N)，若存在正整数m、n(1 ?2n＋1?22 * 2 2 2 nan* bm，bn成等比数列，求m、n的值． [审题要点] (1)由条件式an＋1－an＝an＋anan＋1通过变形可得an与an＋1的关系，结合a2 ＋a4＝2a3＋4可求得an的表达式(也可以用赋值法令n＝2,3解决)． 2 2 2 (2)由(1)可得an，求出bn，利用b1，bm，bn成等比数列列出关于n、m的方程组，由m∈N，求出m、n. [解析] (1)因为an＋1－an＝an＋anan＋1， 所以(an＋1＋an)(2an－an＋1)＝0， 又an>0，所以有2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1， 所以数列{an}是公比为2的等比数列， 由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2， 所以，数列{an}的通项公式为an＝2(n∈N)． (2)bn＝， n＝ ?2n＋1?222n＋1 n* 2 2 2 * nannm21n若b1，bm，bn成等比数列，则()＝()， 2m＋132n＋1 即3m＋n(2m－4m－1)＝0， 所以2m－4m－1<0， 解得1－ *22 2 66 又m∈N，且m>1，所以m＝2，此时n＝12. [易错警示] 1.an>0的隐含条件容易忽视． 2．第(2)问利用b1，bm，bn成等比数列列出m、n的方程后不会利用m∈N的条件，找不到解题思路，因此特别提醒注意细节，注意隐含条件的发掘利用． 21．(文)(20142唐山市一模)已知f(x)＝(1－x)e－1. (1)求函数f(x)的最大值； (2)设g(x)＝x* f?x? ，x>－1，且x≠0，证明：g(x)<1. x[审题要点] (1)解题流程：求f ′(x)→求f(x)的单调区间→求f(x)的最大值． (2)x>0时，g(x)<1，即f(x) －1 [解析] (1)f′(x)＝－xe. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以f(x)的最大值为f(0)＝0. (2)由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1. 当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于f(x)＞x. 设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xe－1. xx 当x∈(－1,0)时，0＜－x＜1,0＜e＜1，则0＜－xe＜1， 从而当x∈(－1,0)时，h′(x)＜0，h(x)在(－1,0)上单调递减． 当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1. 综上，总有g(x)＜1. [易错警示] 不考虑x的符号，盲目将g(x)<1化为f(x) (理)已知函数f(x)＝(x＋bx＋b)1－2x(b∈R)． (1)当b＝4时，求f(x)的极值； 1 (2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围． 3 [审题要点] (1)已知b＝4，求f(x)的极值解题流程为：求f ′(x)→解不等式 2 xxf ′(x)≥0，及f ′(x)≤0确定f(x)的单调区间→求f(x)的极值． 11 (2)f(x)在区间(0，)内单调递增，即f ′(x)≥0在(0，)内恒成立．故解题流程为： 3311 求f ′(x)→将f ′(x)≥0利用x∈(0，)恒成立化简→利用x∈(0，)时不等式恒成立， 33求b的取值范围． [解析] (1)当b＝4时，f(x)＝(x＋2)－5x?x＋2? ， 1－2x由f ′(x)＝0得x＝－2或x＝0. 当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f ′(x)>0，f(x)1 单调递增；当x∈(0，)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 2 故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4. －x[5x＋?3b－2?]1－x(2)f ′(x)＝，因为当x∈(0，)时，<0， 31－2x1－2x15 依题意当x∈(0，)时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0. 331 所以b的取值范围为(－∞，]． 9 11 [易错警示] 本题易将f(x)在(0，)上单调递增，误为f(x)的单调增区间为(0，)致 33误． 22．(文)如图，已知点F为抛物线C1：y＝4x的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线 2 2 1 1－2x的定义域为(－∞，)，f ′(x)＝ 2 l1、l2，分别交抛物线C1于A、C、B、D四点，E、G分别为AC、BD的中点．