数学思想与数学方法
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
??2－2，
1．(文)(20152新课标Ⅰ文，10)已知函数f(x)＝?
??－log2?x＋1?，
x－1
x≤1，x>1，
且
f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－7
4
B．－5
4
C．－3
4
D．－14
[答案] A
[解析] 解法1：由已知条件可得函数图象：
故f(a)＝－3＝－log2(a＋1)，可得a＝7；
f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－7
4
.
故本题正确答案为A．
a－1
解法2：由f(a)＝－3得???
2－2＝－3，
??a≤1，
或???
－log2?a＋1?＝－3，
??
a>1，
解之得a＝7，
∴f(6－a)＝f(－1)＝－7
4. 解法3：由指数函数的性质知2
x－1
>0，∴2
x－1
－2>－2，
∵f(a)＝－3，∴－log2(a＋1)＝－3， ∴a＝7，∴f(6－a)＝f(－1)＝－7
4
. ?1，x＞0，(理)(20152湖北文，7)设x∈R，定义符号函数sgn x＝?
?0，x＝0，
??－1，x＜0，
则( )
A．|x|＝x|sgn x| C．|x|＝|x|sgn x [答案] D
B．|x|＝xsgn |x| D．|x|＝xsgn x
??x，x≠0，
[解析] 对于选项A，右边＝x|sgn x|＝?
?0，x＝0，???x，x≠0，
显然不正确；对于选项B，右边＝xsgn|x|＝?
?0，x＝0，?
??x，x≠0，
然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgn x＝?
?0，x＝0，?
??x，x≥0，
而左边＝|x|＝?
?－x，x<0，?
??x，x≥0，
而左边＝|x|＝?
?－x，x<0，???x，x≥0，
而左边＝|x|＝?
?－x，x<0，?
显
显
x，x>0，??
然不正确；对于选项D，右边＝xsgn x＝?0，x＝0，
??－x，x<0，
然正确；故应选D．
?x，x≥0，?
而左边＝|x|＝?
??－x，x<0，
显
2．(文)如图，过抛物线y＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段
2
PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )
pq11
A．4a C．a [答案] A
[解析] 由于弦PQ只要求过焦点F，无论怎样的位置，结论都是一样的，故选取特殊111
位置．不妨设PQ∥x轴，则p＝q＝，∴＋＝4a.故选A．
2apqB．2a 1
D．a 2
(理)已知两定点A、B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( ) 1A． 2
3B． 2
7C． 2[答案] C
D．5
[解析] 由题作出示意图，分析得出P在P′点处|PA|min，
3
∴|AO|＝2，|OP′|＝.
237
∴|PA|min＝2＋＝.
22
3．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x、y，有( ) A．[－x]＝－[x] C．[2x]＝2[x] [答案] D
[解析] 选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－
1
B．[x＋]＝[x]
21
D．[x]＋[x＋]＝[2x]
2
x]≠－[x]；选项B，取x＝1.5，则[x＋]＝[2]＝2≠[1.5]＝1；选项C，取x＝1.5，则[2x]
＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]．
4．(文)设0
111313113b[解析] 取a＝，b＝，则()<()，排除A；又3>2排除B；a＝()＝<1，排除
3232323C，故选D．
b3
3
1
2
11B．<
abD．lg(b－a)<0
?π?(理)(20152福建文，12)“对任意x∈?0，?，ksinxcosx 2?? A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 [答案] B [解析] 令f(t)＝sint－t，t∈[0，π]，则f′(t)＝cost－1≤0恒成立，∴f(t)在 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ππ [0，π]上单调递减，∴f(t)≤f(0)＝0，∴sint≤t，令t＝2x，则0≤x≤，因此当0 22时可得sinxcosx π43π4 令x＝，则ksinxcosx 393故充分性不成立． 5．(文)函数y＝ax＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( ) 2 ba [答案] D bbb1?b?[解析] 对于选项A、B，对数函数单调递增，故??>1，∴>1或<－1，－<－或aa2a2?a?b1?1?－>，但A、B两项二次函数的对称轴都在?0，?内，故A、B都不对． 2a2?2? bb1b1?b?对于C、D两选项，对数函数单调递减，故0 aa22a2?a? 1?b?且－≠0，选项C二次函数的对称轴在?－1，－?内，故C不正确． 2?2a? (理)(20142沈阳市质检)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f(x??e?x≤0? ＋2)＝2f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x.若函数g(x)＝? ??lnx?x>0? 2 x ，则函数 y＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上零点的个数是( ) A．7 C．9 [答案] D [解析] 如图，当x≤0时，y＝f(x)与y＝e的图象有6个交点；当x>0时，y＝f(x)与y＝lnx的图象有4个交点．故选D． xB．8 D．10