第二轮复习六 探索性问题

Ⅰ、综合问题精讲：

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直

角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析

【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．

①求证：PB＝PS； ②判断△SBR的形状；

③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.

∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。 设抛物线的解析式为y?ax?bx?c． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

2?1?x1?得?2?4a?2b?c 解得a?,b?0,c?1

4?2?4a?2b?c?2∴此抛物线的解析式为y?4x?1

1方法二：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF面积为8， ∴CF=4. ∴C点坐标为(一2，2)。

根据题意可设抛物线解析式为y?ax2?c。 其过点A(0，1)和C(-2．2)

?1?c 解得a?1,c?1 ?4?2?4a?c2此抛物线解析式为y?4x?1

1(2)解：

①过点B作BN?BS，垂足为N．

∵P点在抛物线y=4x+l上．可设P点坐标为(a,1a2?1)．∴PS＝4a21124?1，OB＝NS＝2，BN＝a。∴PN=PS—NS=14a2?1

在Rt?PNB中．

2222222PB2＝PN?BN?(4a?1)?a?(4a?1)

112∴PB＝PS＝4a?1

1②根据①同理可知BQ＝QR。 ∴?1??2， 又∵ ?1??3，

∴?2??3，

同理?SBP＝∠B ∴2?5?2?3?180?

∴?5??3?90?∴?SBR?90?. ∴ △SBR为直角三角形． ③方法一：设PS?b,QR?c，

∵由①知PS＝PB＝b．QR?QB?c，PQ?b?c。∴SR2?(b?c)2?(b?c)2

∴SR?2bc。假设存在点M．且MS＝x，别MR＝2bc?x 。若使△PSM∽△MRQ， 则有b?2bc?x。即x2?2bcx?bc?0

xc∴x1?x2?bc。 ∴SR＝2bc ∴M为SR的中点. 若使△PSM∽△QRM， 则有

bc2bbc?。∴x?。 x2bc?xb?c∴

MR2bc?x2bccQBRO。 ???1???MSxbBPOS2bbcb?c∴M点即为原点O。

综上所述，当点M为SR的中点时．?PSM∽ΔMRQ；当点M为原点时，?PSM∽?MRQ． 方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似， ∵?PSM??MRQ?90?，

∴有?PSM∽?MRQ和?PSM∽△QRM两种情况。

当?PSM∽?MRQ时．?SPM＝?RMQ，?SMP＝?RQM．

由直角三角形两锐角互余性质．知?PMS+?QMR＝90°。∴?PMQ?90?。 取PQ中点为N．连结MN．则MN＝1PQ=1(QR?PS)．

22∴MN为直角梯形SRQP的中位线,

∴点M为SR的中点 当△PSM∽△QRM时，

RMQRQB??。又RM?RO，即M点与O点重合。∴点M为原点O。 MSPSBPMSOS综上所述，当点M为SR的中点时，?PSM∽△MRQ；当点M为原点时，?PSM∽△QRM。

点拨：通过对图形的观察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标