习题四
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（提示：P(Y?k)?P(X?kX?0),对于k?1,2,?.）
13. 袋中有n把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽取一把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.
14. 袋中有a个白球、b个黑球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到白球停止抽取，X为抽取次数，求P(X?n).
15. 据统计，某高校在2010年上海世博会上的学生志愿者有6 000名，其中女生3 500名.现从中随机抽取100名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数X的分布律.
?2x,0?x?A,16. 设随机变量X的密度函数为f(x)??试求：（1）常数A（;2）P(0?X?0.5).
0,其他,?17． 设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae(???x???)，求：（1）系数A；（2）P(0?X?1)；（3）X的分布函数.
?x?x?e2c,x?0,18． 证明：函数f(x)??c（c为正的常数）可作为一个密度函数.
?0,x?0,?2?x19. 经常往来于某两地的火车晚点的时间X（单位：min）是一个连续型随机变量，其
密度函数为
?3(25?x2),?5?x?5,? f(x)??500?0,其他.?X为负值表示火车早到了.求火车至少晚点2 min的概率.
0,x?0,?20. 设随机变量X的分布函数为F(x)??求X的密度函数，并计算?x1?(1?x)e,x?0,?P(X?1)和P(X?2).
21. 设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率. 22. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，证明：对于a?0,b?0,a?b?1，
P(a?X?b)?b?a，并解释这个结果.
23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：min）是一随机变量，它服从??15x?1?5?e,x?0,的指数分布，其密度函数为f(x)??5某顾客在窗口等待服务，若超过10 min，他
,其它.?0?10
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就离开.
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率. 24. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），
?1?e?0.2x,x?0,X的分布函数是F(x)??
其他.?0,求：（1）X的密度函数；（2）P（至多等待2 min）；（3）P（至少等待4 min）；（4）P（等
待2 min至4 min之间）；（5）P（等待至多2 min或至少4 min）.
25. 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx(???x???)，求：（1）常数A，B；（2）P(X?1)；（3）随机变量X的密度函数.
26. 设随机变量X服从N(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X?2.2);（2）P(X?1.76);（3）P(X??0.78);（4）P(X?1.55);（5）P(X?2.5);（6）确定a，使得P(X?a)?0.99.
27. 设随机变量X服从N(?1,16)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X?2.44);（2）P(X??1.5);（3）P(X??2.8);（4）P(X?4);（5）
P(?5?X?2);（6）P(X?1?1);（7）确定a，使得P(X?a)?P(X?a).
28. 设随机变量X服从正态分布N(?,?)，且二次方程t2?4t?X?0无实根的概率为
21，求?的值. 229. 某厂生产的滚珠直径X服从正态分布N(2.05,0.01)，合格品的规格规定直径为
2?0.2，求滚珠的合格率.
30. 某人上班路上所需的时间X~N(30,100)（单位：min），已知上班时间是8：30.他每天7：50分出门，求:（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率.
习题五
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习题五
1??1. 二维随机变量(X,Y)只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），??1,?，（2，0），
3??且取这些组值的概率依次为
1115,,,.求这二维随机变量的分布律，并写出关于X及关631212于Y的边缘分布律.
2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求(X,Y)的分布律及P(X?Y).
*3. 从3名数据处理经理、2名高级系统分析师和2名质量控制工程师中随机挑选4人组成一个委员会，研究某项目的可行性.设X表示从委员会选出来的数据处理人数，Y表示选出来的高级系统分析师的人数，求：（1）X与Y的联合分布律；（2）P(X?Y).
*4. 盒中有4个红球4个黑球，不放回抽取4次，每次取1个，X={前2次抽中红球数}，Y={4次共抽中红球数}，求（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布律：（2）给定X?1，Y的条件分布律.
5. 箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次.
?0,若第一次取出正品,?0,若第二次取出正品,Y??定义随机变量X,Y如下：X??分别就
,若第一次取出次品,,若第二次取出次品,11??下面两种情况（1）放回抽样，（2）不放回抽样.
求：（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布律; （2）关于X及关于Y的边缘分布律;
（3）X与Y是否独立，为什么？
?1,0?x?1,0?y?1,?6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??4xy
?0,其他.?求：（1）关于X及关于Y的边缘密度函数；（2）P?0?X???11?,0?Y??. 22?7. 设二维随机变量(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，其中区域D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域.求：（1）(X,Y)的联合密度函数；（2）P??1??1?X?0,0?Y??；
4??4（3）关于X及关于Y的边缘密度函数；（4）X与Y是否独立，为什么？
8. 设二维随机变量(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，其中D为由直线x+y=1，x+y=-1，
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x-y=1，x-y=-1围成的区域.求：
（1）关于X及关于Y的边缘密度函数；
（2）P(X?Y)；
（3）X与Y是否独立，为什么？
9. 设随机变量X，Y是相互独立且分别具有下列分布律：
X 概率
Y 概率 写出表示(X,Y)的联合分布律.
10． 设进入邮局的人数服从参数为?的泊松分布，每一个进入邮局的人是男性的概率为p（0 11. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从[0,0.2]上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求：(X,Y)的联合密度函数及P(X?Y). ?ke?(3x?4y),x?0,y?0,12. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??求：（1）系 其他,0?-2 -1 0 0.5 1 41 3-0.5 1 1 123 1 31 21 41 4数k;（2）P(0?X?1,0?Y?2);（3）证明X与Y相互独立. 13. 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)???k(1?x)y,0?x?1,0?y?x,， 其他,0?（1）求常数k;（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？为什么. 14. 设随机变量X与Y的联合分布律为： Y 0 1 X 0 1 2 且P(Y?1X?0)?2 25a b 1 253 252 253，求：（1）常数a，b的值；（2）当a，b取（1）中的值时，X5与Y是否独立，为什么？ *15. 对于第2题中的二维随机变量(X,Y)的分布，求当Y?2时X的条件分布律.