习题三

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习题三

1. 已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率

P(BA)?0.8，试求P(AB)及P(AB).

2. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.

3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ （2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

4. 罐中有m个白球，n个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.

5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:

保质期内 保质期后 擦伤 18％ 12％ 投诉原因 凹痕 13％ 22％ 外观 32％ 3％ 如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.

6. 给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：

P(AB)?P(A)；P(AB)?P(A)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(B).

7. 已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求下列事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球.

8. 设某一工厂有A，B，C三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5％、4％、2％.如果从全厂总产品中抽取一件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A，B，C生产的概率.

9. 某次大型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率.

10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.

*11. 甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率.

12. 设事件A,B相互独立.证明：A,B相互独立，A,B相互独立.

6 工程数学 概率统计简明教程（第二版）

13. 设事件A与B相互独立，且P(A)?p，P(B)?q.求下列事件的概率：

P(A?B),P(A?B),P(A?B).

14. 已知事件A与B相互独立，且P(AB)?1，P(AB)?P(AB).求：P(A),P(B). 915. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译出的概率.

16. 设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.

*17. （配对问题）房间中有n个编号为1~n的座位.今有n个人（每人持有编号为1~n的票）随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率. （提示：使用概率的性质5的推广，即对任意n个事件A1,A2,?,An，有

?n?nP??Ak???P(Ak)??P(AiAj)??1?i?j?n?k?1?k?1?(?1)k?11?i1?i2???ik?n

?P(Ai1?Aik)???(?1)n?1P(A1?An).)*18. （波利亚（Pólya）罐子模型）罐中有a个白球，b个黑球，每次从罐中随机抽取

一球，观察其颜色后，连同附加的c个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取.试用数学归纳法证明：第k次取得白球的概率为

a（k?1为整数）（提示：.记Ak?{第k次取得白球}，a?b使用全概率公式P(Ak)=P(A1)P(AkA1)+P(A1)P(AkA1)及归纳假设.）

19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币n次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率.

20. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.

21. 灯泡耐用时间在1 000 h以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使用1 000 h以后最多只有一个坏了的概率.

22. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运行的概率；

（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； （3）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率.

23. 设在三次独立试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同.若已知A至少出现一次的概率等于

19，求事件A在每次试验中出现的概率P(A). 27*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个女孩的概率分别为a及b.今已知双胞胎中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率.

习题三

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25. 两射手轮流打靶，谁先进行第一次射击是等可能的.假设他们第一次的命中率分别为0.4及0.5，而以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击首次中靶，求是第一名射手首先进行第一次射击的概率.

26. 袋中有2n-1个白球和2n个黑球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同色的，求同为黑色的概率.

*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落入编号1~4的四个盒子， （1）求恰有两空盒的概率；

（2）已知恰有两空盒，求有球的盒子的最小编号为2的概率.

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工程数学 概率统计简明教程（第二版）

习题四

1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由. （1）pi?i(i?0,1,2,3,4,5)； 15(5?i2)（2）pi?(i?0,1,2,3)；

6（3）pi?i?1(i?1,2,3,4,5). 25C(i?0,1,2,3,4)成为某个随机变量X的分布律，并i2

2. 试确定常数C，使P(X?i)?5??1求：（1）P(X?2)；（2）P??X??；（3）F(3)（其中F（·）为X的分布函数）.

2??23. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数.

4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数.

5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律.

6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律：

（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2）每次取出的产品都不放回这批产品中；

（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.

7. 设随机变量X~B(6,p)，已知P(X?1)?P(X?5)，求p与P(X?2)的值. 8. 一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是正确的.假设某位学生在做每道题时都是随机地选择，求该位学生未能答对一道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.

9． 市120接听中心在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计算）：

求：（1）某天中午12点至下午3点没有收到紧急呼救的概率； （2）某天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼救的概率.

10． 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布.问在月初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满足顾客的需要？

11. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.

12. 设鸡下蛋数X服从参数为?的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y为观察到的鸡蛋数，即Y的分布与给定X>0的条件下X的分布相同，今求Y的分布律.