习题一
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习题一
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：
（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7”；
（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；
（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.
2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；
（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={至少出现一个正面}，B={出现一正、二反}，C={出现不多于一个正面}；
（3）如记Ai={第i枚硬币出现正面}（i=1，2，3），试用A1,A2,A3表示事件A，B，C. 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
（1）A?B；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）B?C；（7）A?C. 3??1??14. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??，求下列事件的表
2??2??4达式：（1）A?B；（2）AB；（3）AB，（4）A?B.
5. 用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1）A出现，B，C都不出现； （2）A，B都出现，C不出现； （3）所有三个事件都出现；
（4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于二个事件出现；
（8）三个事件中至少有二个出现.
6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，试用Ai的运算表示下列各个事件：
（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2）只有第一次抽到废品； （3）三次都抽到废品；
（4）至少有一次抽到合格品； （5）只有两次抽到废品.
7. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}（i＝1，2，3），试用A1,A2,A3表示下述事件：
（1）A={前两次至少有一次击中目标}；
（2）B={三次射击恰好命中两次}；
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（3）C={三次射击至少命中两次}； （4）D={三次射击都未命中}.
8. 盒中放有a个白球b个黑球，从中有放回地抽取r次（每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取）.记Ai={第i次抽到白球}（i＝1，2，?，r），试用{Ai}表示下述事件：
（1）A={首个白球出现在第k次}； （2）B={抽到的r个球同色}，
其中1?k?r.
*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成立： （1）ABC=A；（2）A?B?C?A.
习题二
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习题二
1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.
2. 一口袋中有5个红球及2个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：
（1）第一次、第二次都取到红球的概率；
（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率； （3）两次取得的球为红、白各一的概率； （4）第二次取到红球的概率.
3. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求： （1）最小号码是3的概率；（2）最大号码是3的概率.
4. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：
（1）2只都是合格品；
（2）1只是合格品，一只是不合格品； （3）至少有1只是合格品.
5. 从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.
6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.
7. 掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.
8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.
9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率： （1）事件A={其中恰有一位精通英语}； （2）事件B={其中恰有两位精通英语}； （3）事件C={其中有人精通英语}.
10. 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.
11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着0～9十个数字.球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件A={结果为奇数}，事件B={结果为涂黑色的数}.求以下事件的概率：
（1）P(A)；（2）P(B)；（3）P(A?B)；（4）P(AB).
12. 设一质点一定落在xOy平面内由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x=
1的左边的概率. 313. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.
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14. 已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求：
（1）P(A),P(B)；（2）P(A?B)；（3）P(AB)；（4）P(BA),P(AB)；（5）P(AB). 15. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，P(A?B)=0.8，试求：P（A-B）与P（B-A）.
*16. 盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率.
习题三
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习题三
1. 已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率
P(BA)?0.8，试求P(AB)及P(AB).
2. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.
3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ （2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
4. 罐中有m个白球，n个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.
5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:
保质期内 保质期后 擦伤 18％ 12％ 投诉原因 凹痕 13％ 22％ 外观 32％ 3％ 如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.
6. 给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：
P(AB)?P(A)；P(AB)?P(A)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(B).
7. 已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求下列事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球.
8. 设某一工厂有A，B，C三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5％、4％、2％.如果从全厂总产品中抽取一件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A，B，C生产的概率.
9. 某次大型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率.
10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.
*11. 甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率.
12. 设事件A,B相互独立.证明：A,B相互独立，A,B相互独立.
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13. 设事件A与B相互独立，且P(A)?p，P(B)?q.求下列事件的概率：
P(A?B),P(A?B),P(A?B).
14. 已知事件A与B相互独立，且P(AB)?1，P(AB)?P(AB).求：P(A),P(B). 915. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译出的概率.
16. 设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.
*17. （配对问题）房间中有n个编号为1~n的座位.今有n个人（每人持有编号为1~n的票）随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率. （提示：使用概率的性质5的推广，即对任意n个事件A1,A2,?,An，有
?n?nP??Ak???P(Ak)??P(AiAj)??1?i?j?n?k?1?k?1?(?1)k?11?i1?i2???ik?n
?P(Ai1?Aik)???(?1)n?1P(A1?An).)*18. （波利亚（Pólya）罐子模型）罐中有a个白球，b个黑球，每次从罐中随机抽取
一球，观察其颜色后，连同附加的c个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取.试用数学归纳法证明：第k次取得白球的概率为
a（k?1为整数）（提示：.记Ak?{第k次取得白球}，a?b使用全概率公式P(Ak)=P(A1)P(AkA1)+P(A1)P(AkA1)及归纳假设.）
19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币n次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率.
20. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.
21. 灯泡耐用时间在1 000 h以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使用1 000 h以后最多只有一个坏了的概率.
22. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运行的概率；
（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； （3）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率.
23. 设在三次独立试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同.若已知A至少出现一次的概率等于
19，求事件A在每次试验中出现的概率P(A). 27*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个女孩的概率分别为a及b.今已知双胞胎中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率.
习题三
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25. 两射手轮流打靶，谁先进行第一次射击是等可能的.假设他们第一次的命中率分别为0.4及0.5，而以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击首次中靶，求是第一名射手首先进行第一次射击的概率.
26. 袋中有2n-1个白球和2n个黑球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同色的，求同为黑色的概率.
*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落入编号1~4的四个盒子， （1）求恰有两空盒的概率；
（2）已知恰有两空盒，求有球的盒子的最小编号为2的概率.
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习题四
1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由. （1）pi?i(i?0,1,2,3,4,5)； 15(5?i2)（2）pi?(i?0,1,2,3)；
6（3）pi?i?1(i?1,2,3,4,5). 25C(i?0,1,2,3,4)成为某个随机变量X的分布律，并i2
2. 试确定常数C，使P(X?i)?5??1求：（1）P(X?2)；（2）P??X??；（3）F(3)（其中F（·）为X的分布函数）.
2??23. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数.
4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数.
5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律.
6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律：
（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2）每次取出的产品都不放回这批产品中；
（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.
7. 设随机变量X~B(6,p)，已知P(X?1)?P(X?5)，求p与P(X?2)的值. 8. 一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是正确的.假设某位学生在做每道题时都是随机地选择，求该位学生未能答对一道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.
9． 市120接听中心在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计算）：
求：（1）某天中午12点至下午3点没有收到紧急呼救的概率； （2）某天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼救的概率.
10． 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布.问在月初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满足顾客的需要？
11. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.
12. 设鸡下蛋数X服从参数为?的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y为观察到的鸡蛋数，即Y的分布与给定X>0的条件下X的分布相同，今求Y的分布律.
习题四
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（提示：P(Y?k)?P(X?kX?0),对于k?1,2,?.）
13. 袋中有n把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽取一把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.
14. 袋中有a个白球、b个黑球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到白球停止抽取，X为抽取次数，求P(X?n).
15. 据统计，某高校在2010年上海世博会上的学生志愿者有6 000名，其中女生3 500名.现从中随机抽取100名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数X的分布律.
?2x,0?x?A,16. 设随机变量X的密度函数为f(x)??试求：（1）常数A（;2）P(0?X?0.5).
0,其他,?17． 设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae(???x???)，求：（1）系数A；（2）P(0?X?1)；（3）X的分布函数.
?x?x?e2c,x?0,18． 证明：函数f(x)??c（c为正的常数）可作为一个密度函数.
?0,x?0,?2?x19. 经常往来于某两地的火车晚点的时间X（单位：min）是一个连续型随机变量，其
密度函数为
?3(25?x2),?5?x?5,? f(x)??500?0,其他.?X为负值表示火车早到了.求火车至少晚点2 min的概率.
0,x?0,?20. 设随机变量X的分布函数为F(x)??求X的密度函数，并计算?x1?(1?x)e,x?0,?P(X?1)和P(X?2).
21. 设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率. 22. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，证明：对于a?0,b?0,a?b?1，
P(a?X?b)?b?a，并解释这个结果.
23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：min）是一随机变量，它服从??15x?1?5?e,x?0,的指数分布，其密度函数为f(x)??5某顾客在窗口等待服务，若超过10 min，他
,其它.?0?10
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就离开.
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率. 24. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），
?1?e?0.2x,x?0,X的分布函数是F(x)??
其他.?0,求：（1）X的密度函数；（2）P（至多等待2 min）；（3）P（至少等待4 min）；（4）P（等
待2 min至4 min之间）；（5）P（等待至多2 min或至少4 min）.
25. 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx(???x???)，求：（1）常数A，B；（2）P(X?1)；（3）随机变量X的密度函数.
26. 设随机变量X服从N(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X?2.2);（2）P(X?1.76);（3）P(X??0.78);（4）P(X?1.55);（5）P(X?2.5);（6）确定a，使得P(X?a)?0.99.
27. 设随机变量X服从N(?1,16)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X?2.44);（2）P(X??1.5);（3）P(X??2.8);（4）P(X?4);（5）
P(?5?X?2);（6）P(X?1?1);（7）确定a，使得P(X?a)?P(X?a).
28. 设随机变量X服从正态分布N(?,?)，且二次方程t2?4t?X?0无实根的概率为
21，求?的值. 229. 某厂生产的滚珠直径X服从正态分布N(2.05,0.01)，合格品的规格规定直径为
2?0.2，求滚珠的合格率.
30. 某人上班路上所需的时间X~N(30,100)（单位：min），已知上班时间是8：30.他每天7：50分出门，求:（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率.
习题五
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习题五
1??1. 二维随机变量(X,Y)只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），??1,?，（2，0），
3??且取这些组值的概率依次为
1115,,,.求这二维随机变量的分布律，并写出关于X及关631212于Y的边缘分布律.
2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求(X,Y)的分布律及P(X?Y).
*3. 从3名数据处理经理、2名高级系统分析师和2名质量控制工程师中随机挑选4人组成一个委员会，研究某项目的可行性.设X表示从委员会选出来的数据处理人数，Y表示选出来的高级系统分析师的人数，求：（1）X与Y的联合分布律；（2）P(X?Y).
*4. 盒中有4个红球4个黑球，不放回抽取4次，每次取1个，X={前2次抽中红球数}，Y={4次共抽中红球数}，求（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布律：（2）给定X?1，Y的条件分布律.
5. 箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次.
?0,若第一次取出正品,?0,若第二次取出正品,Y??定义随机变量X,Y如下：X??分别就
,若第一次取出次品,,若第二次取出次品,11??下面两种情况（1）放回抽样，（2）不放回抽样.
求：（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布律; （2）关于X及关于Y的边缘分布律;
（3）X与Y是否独立，为什么？
?1,0?x?1,0?y?1,?6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??4xy
?0,其他.?求：（1）关于X及关于Y的边缘密度函数；（2）P?0?X???11?,0?Y??. 22?7. 设二维随机变量(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，其中区域D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域.求：（1）(X,Y)的联合密度函数；（2）P??1??1?X?0,0?Y??；
4??4（3）关于X及关于Y的边缘密度函数；（4）X与Y是否独立，为什么？
8. 设二维随机变量(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，其中D为由直线x+y=1，x+y=-1，
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x-y=1，x-y=-1围成的区域.求：
（1）关于X及关于Y的边缘密度函数；
（2）P(X?Y)；
（3）X与Y是否独立，为什么？
9. 设随机变量X，Y是相互独立且分别具有下列分布律：
X 概率
Y 概率 写出表示(X,Y)的联合分布律.
10． 设进入邮局的人数服从参数为?的泊松分布，每一个进入邮局的人是男性的概率为p（0 11. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从[0,0.2]上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求：(X,Y)的联合密度函数及P(X?Y). ?ke?(3x?4y),x?0,y?0,12. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??求：（1）系 其他,0?-2 -1 0 0.5 1 41 3-0.5 1 1 123 1 31 21 41 4数k;（2）P(0?X?1,0?Y?2);（3）证明X与Y相互独立. 13. 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)???k(1?x)y,0?x?1,0?y?x,， 其他,0?（1）求常数k;（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？为什么. 14. 设随机变量X与Y的联合分布律为： Y 0 1 X 0 1 2 且P(Y?1X?0)?2 25a b 1 253 252 253，求：（1）常数a，b的值；（2）当a，b取（1）中的值时，X5与Y是否独立，为什么？ *15. 对于第2题中的二维随机变量(X,Y)的分布，求当Y?2时X的条件分布律. 习题五 13 *16. 对于第7题中的二维随机变量(X,Y)的分布，求：（1）P???111??X?0?Y??； 42??4（2）当X?x???1??x?0?时Y的条件密度函数fYX(yx). ?2?*17. 设二维连续型随机变量(X,Y)，证明：对任何x，有 P(X?x)??P(X?xY?y)fY(y)dy, ????)为Y的边缘密度函数.其中fY(?14 工程数学 概率统计简明教程（第二版） 习题六 1. 设随机变量X的分布律为 X 概率 -2 -0.5 0 2 4 1 81 41 81 61 3求出:（1）X?2;（2）?X?1;（3）X2的分布律. 2. 设随机变量X服从参数??1的泊松分布，记随机变量Y??量Y的分布律. 3. 设随机变量X的分布密度为f(x)??（1）2X；（2）?X?1；（3）X2. 4. 对圆片直径进行测量.测量值X服从(5,6)上的均匀分布，求圆片面积Y的密度函数. 5. 设随机变量X服从正态分布N（0，，试求随机变量函数Y=X2的密度函数fY(y). 1）6. 设随机变量X服从参数??1的指数分布，求随机变量函数Y＝eX的密度函数 ?0,若X?1,试求随机变 若X?1.1??2x,0?x?1,求出以下随机变量的密度函数： ,其他,?0fY(y). 7. 设随机变量X服从N(0,1)，证明：?X?a服从N(a,?)，其中a,?为两个常数且??0. 8. 设随机变量X在区间[?1,2]上服从均匀分布，随机变量 2?1，若X?0,?Y??0，若X?0,试求随机变量函数Y的分布律. ??1，若X?0.?9. 设二维随机变量(X,Y)的分布律: Y X 1 2 3 1 2 3 1 41 81 81 40 1 80 0 1 8习题六 15 求以下随机变量的分布律:（1）X?Y;（2）X?Y;（3）2X;（4）XY. 10. 设随机变量X,Y相互独立，且X?B?1,?1??1?Y?B，??1,?， 4???4?（1）记随机变量Z?X?Y，求Z的分布律； （2）记随机变量U?2X，求U的分布律. 从而证实：即使X，Y服从同样的分布，X?Y与2X的分布并不一定相同. *11. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，给定X?k，Y的条件分布为参数为k，p的二项分布（0 k?y??12. 设二维随机变量X，Y的联合分布律为: Y X 1 2 3 1 2 0 3 0 01 92 92 91 92 91 9求:（1）U=max(X,Y)的分布律； （2）V?min(X,Y)的分布律； （3）(U,V)的联合分布律. 13. 设二维随机变量?X,Y?服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线x?0,y?0， x?2,y?2所围成的区域，求X?Y的分布函数及密度函数. *14. 设随机变量X，Y相互独立，且有相同的分布N(0,1)，U?X?Y，V?X?Y，求:（1）U的密度函数；（2）V的密度函数. 15. 设二维随机变量X,Y的分布密度为f(x,y)，用函数f表达随机变量X?Y的密度函数. 2216. 设随机变量X~N(a,?)，Y~N(b,?)，且X，Y相互独立，Z?X?Y，求 ZX?x的条件分布密度函数. 17. 用于计算机接线柱上的保险丝寿命服从参数??0.2的指数分布.每个接线柱要求两个这样的保险丝，这两个保险丝有独立的寿命X与Y.（1）其中一个充当备用件，仅当第一个保险丝失效时投入使用.求总的有效寿命Z＝X+Y的密度函数.（2）若这两个保险丝同时 16 工程数学 概率统计简明教程（第二版） 独立使用，则求有效寿命U?max(X,Y)的密度函数. 18. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，记Z是以X，Y为边长的矩形的面积，求Z的密度函数. *19. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求Z?密度函数. （提示：使用FZ(z)?P(Z?z)?P(Z?zY?y)fY(y)dy?X与Y的独立性.） X的Y??P(X?yz)dy，其中用到 01习题七 17 习题七 1. 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 21 621 2 概率 1 31 6112 1 4求：（1）E(X);（2）E(?X?1);（3）E(X);（4）D(X). 2. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布（??0），且已知E((X?2)(X?3))?2，求?的值. 3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，试求X2的数学期望E(X2). 4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量.它在[2 000，4 000]（单位：吨）上服从均匀分布.若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元.问应组织多少货源，才能使平均收益最大？ 5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E(X)和方差D(X). 6. 设随机变量X有分布律: pk?P(X?k)?pqk?1(k?1,2,?), 其中0?p?1,q?1?p，称X服从具有参数p的几何分布，求E(X)和D(X).（提示： ??1?2???由幂级数逐项求导的性质可知?kqk?1???qk????, 1?qk?1?k?0????3?????1??k??q?q?2??) ????1?q??k?0????1?q???k(k?1)qk?1?k?2? 127. 设随机变量X的密度函数为f(x)?e?x，求:（1）E(X);（2）E(X)的值. 2?2(1?x),0?x?1,8. 某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)??求E(X)， 0,其他,?D(X). 9. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，求E(X?1). ?118 工程数学 概率统计简明教程（第二版） 10. 设随机变量X服从参数为p的几何分布，求E(Y). M?0为整数，Y?max(X,M)，*11. 设随机变量X有分布律： ?M??N?M?????k??n?k??pk?P(X?k)?,k?0,1,2,?,n?M，其中n?M?min(n,M). ?N????n???n?n?n?1?n(n?1)?n?2???提示:使用????????.? mm?1m?2mm(m?1)????????*12. 将已写好n封信的信纸随机地装入已写好的n个收信人的对应地址的信封，若有 一封信的信纸的收信人与信封一致时，称之为有一个配对.今X为n封已随机装好的信的配对数，求E(X),D(X). n??1,第i封信配对,(i?1,2,?,n),有X??Xi,先求E(Xi),E(XiXj)??提示:记Xi??0,其他i?1??及cov(Xi,Xj),使用公式D(X)=?D(Xi)?2?i=1i?1nn?1?cov(X,X).?1j?j?j?1?n ?e1?x,x?0,13. 设随机变量X的概率密度为f(x)??求E(X)，E(2X)，E(X?e?2X)， ?0,x?0,D(X). 14. 设随机向量(X,Y)的联合分布律为: Y X 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求E(X),E(Y),E(X?2Y),E(3XY),D(X),D(Y),cov(X,Y),?X,Y. 15. 盒中有3个白球和2个黑球，从中随机抽取2个，X，Y分别是抽到的2个球中的白球数和黑球数，求X与Y之间的相关系数?X,Y. 16. 设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为?2e?2x,x?0,?4e?4y,y?0,fX(x)??fY(y)??求D(X?Y). ,x?0,,y?0,00??*17. 设随机变量X1,?,Xn独立，具有公共的（0，1）上的均匀分布，令Y?minXi,1?i?n求E(Y),D(Y). 习题七 19 ?????1??xxe,?*18. 设随机变量X有密度函数f(x)???(?)?0,?x?0,，（??0，??0为常数）其他则称X服从具有参数的伽玛分布，记为X~?（?，?），其中?(?)=（?，?）??0y??1e?ydy. 有性质：对任意实数x，有?(x?1)?x?(x)，特别对正整数n有?(n?1)?n!.今设 Y~?(?1,?)，Z~?(?2,?)，且Y与Z相互独立，W???Z??1??提示:使用独立性,有E(W)?E?E(Z)E????.? ??Y??Y???Z，求E(W) Y*19. 设随机变量X服从参数为（a，b）的贝搭分布，即有密度 ??(a?b)a?1x(1?x)b?1,0?x?1,?f(x)???(a)?(b)求E(X),D(X).[提示：已知贝搭函数 ?0,其他,?1??(?)?(?)???1??1提示:已知贝搭函数?(?,?)?t(1?t)dt,有关系式?(?,?)=.? ??0?(?+?)??????20. 验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式E(X)??公式E(X)??布密度，即 证明：E(X)??????????xf(x,y)dydx及按 xf(x)dx算得的E(X)值相等.这里，f(x,y),f(x)依次表示(X,Y),X的分 ??????????xf(x,y)dydx??xf(x)dx ????21. 设二维随机变量(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x+y+1=0所围成的区域，求：（1）E(X);（2）E(?3X?2Y);（3）E(XY)的值. ?12y2,0?y?x?1,22. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??求E(X)，E(Y)， 0,其他.?E(XY)，E(X2?Y2)，D(X)，D(Y). 23. 设随机变量X,Y相互独立，且E(X)?E(Y?)，1D(X)?2，D(Y)?3.求：（1）E(X),E(Y)；（2）D(XY). 24. 袋中有2个外形完全相同的球，其中??个标有数字k（k=0，1，?，n），从中不放回抽取m次（每次取1个），以X表示取到的m个球上的数字之和，求E（X）. n22?n??k?20 工程数学 概率统计简明教程（第二版） （提示：记Xi=第i次抽到的球上的数字，则X??X,E(X)??E(X).） iii?1i?1mm25. 设D(X)?25，D(Y)?36，?(X,Y)?0.4，求：（1）D(X?Y);（2）D(X?Y). 26. 设随机变量X,Y相互独立，且X~N(1,1)，Y~N(?2,1)，求 E(2X?Y),D(2X?Y). 27. 设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计P(X?E(X)?7.5)的值. 28. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计P(X?Y?6)的值. 29. 在次品率为 1的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取6的产品中次品件数在40与60之间的概率. 30. 有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m.现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过30根的概率. 31. 有3 000个同龄的人参加某保险公司的人寿保险，保险期限为1年.假设在1年内每人的死亡率为0.1％，参加保险的人在投保日须交付保费10元，被保险人在保险期间死亡时家属可以从保险公司领取2 000元.试用中心极限定理求保险公司亏本的概率. 32. 某种电器有100个独立的电源可供使用.每个电源的寿命服从均值为10 h的指数分布，求这个电器的使用总寿命大于1 200 h的概率. 1?x?,0?x?1,?33. 设随机变量X的概率密度为f(x)??求X的中位数. 2其他,??0, 习题八 21 习题八 1. 设X1,?,X6是来自服从参数为?的泊松分布?(?)的样本，试写出样本的联合分布律. 2. 设X1,?,X6是来自(0,?)上均匀分布的样本，??0未知. （1）写出样本的联合密度函数； （2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ T1?X1???X6，T2?X6??，T3?X6?E(X1)，T4?max(X1,?,X6) 6（3）如样本的一组观察是：0.5，1，0.7，0.6，1，1，写出样本均值，样本方差和标准差. 3. 某一马拉松比赛中前30名运动员成绩如下（单位：min）： 129，130，130，133，134，135，136，136，138，138，138，141，141，141，142， 142，142，142，143，143，143，143，143，144，144，145，145，145，145，145， （1）计算该30名运动员成绩的均值和样本标准差； （2）计算这组成绩的样本中位数. 4. 为研究训练水平与心脏血液输出量之间的关系，随机抽取20人，并将他们随机分成四组，每组一个训练水平，训练15分钟后，测量他们的心脏血液输出量（单位：mL/min），结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 训练水平 x 0 0 0 0 0 300 300 300 300 300 心脏血液输出量y 4.4 5.6 5.2 5.4 4.4 9.1 8.6 8.5 9.3 9.0 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 训练水平 x 600 600 600 600 600 900 900 900 900 900 心脏血液输出量y 12.8 13.4 13.2 12.6 13.2 17.0 17.3 16.5 16.8 17.2 试计算样本相关系数，并由此解释训练水平与心脏血液输出量之间的相关关系. 225. 查表求?0.99(12)，?0.01(12)，t0.99(12)，t0.01(12). 6. 设随机变量T~t(10)，求常数c使P(T?c)?0.95. 7. 设X1,?,Xn是来自正态总体N(0,?)的样本，试证： （1） 21?2?Xi?1n2i~?2(n)； 21?n?（2）2??Xi?~?2(1). n??i?1?22 工程数学 概率统计简明教程（第二版） 8. 设X1,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个Xi（i?1,2,?,5）都服从N(0,1). （1）试给出常数c，使得c(X1?X2)服从?分布，并指出它的自由度； （2）试给出常数d，使得d222X1?X2X?X?X232425服从t分布，并指出它的自由度； 2X12?X2（3）试给出常数k，使得k2服从F分布，并指出它的自由度. 2X3?X4?X529. 设(X1,X2,?,Xn)是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求E(X)， D(X)，E(S2)： （1）X~B(1,p)；（2）X~E(?)；（3）X~R(0,2?),其中??0. *10. 某市有100 000个年满18岁的居民，他们中10％年收入超过15万，20％受过高 等教育.今从中抽取1 600人的随机样本，求:（1）样本中不少于11％的人年收入超过15万的概率；（2）样本中19％和21％之间的人受过高等教育的概率. 习题九 23 习题九 1. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计： （1）X~B(1,p)，其中p未知，0?p?1； （2）X~E(?)，其中?未知，??0. 2. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为?的泊松分布，其中?未知，??0，求?的矩估计与最大似然估计.如得到一组样本观测值： X 0 1 2 3 4 20 10 2 1 频数 17 求?的矩估计值与最大似然估计值. 3. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从区间(0,?)上的均匀分布，其中??0未知，求?的矩估计. ?2x?,0?x??,4. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为f(x)???2其 ?其他,?0,中?未知，??0，求?的矩估计与最大似然估计值. ?(??1)x?,0?x?1,5. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为f(x)??0,其他,?其中?未知，??0，求?的矩估计和最大似然估计. 6. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为p的几何分布，即 P(X?x)?p(1?p)x?1(x?1,2,3,?)，其中p未知，0?p?1，求p的最大似然估计. 7. 已知某路口车辆经过的间隔时间服从指数分布E(?)，其中??0未知，现在观测到六个间隔时间数据（单位：s）： 1.8，3.2，4，8，4.5，2.5 试求该路口车辆经过的平均间隔时间的矩估计值与最大似然估计值. 1??8. 总体X的密度函数为f(x,?)?其中??0未知，设X1,?,Xne(???x???)， 2??. 是取自这个总体的一个样本，试求?的最大似然估计?*9. 帕雷托（Pareto）分布在计量经济中常常用到，它有密度函数 ????1??C0x,x?C0,f(x,?)??C0?0是给定的.设X1,?,Xn是取其中??1为未知参数， 0,x?C0,?x自帕雷托分布的随机样本，求?的矩估计和最大似然估计. 24 工程数学 概率统计简明教程（第二版） *10. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 ?xe?x/??f(x)???2?0,?x>0其他,?和最大似然估计??，并进一步，其中??0未知.求?的矩估计?21求解估计量的均值和方差. 11. 在第3题中?的矩估计是否是?的无偏估计？ 12. 试证第8题中?的最大似然估计是?的无偏估计. 13. 设 ?是一个未知的分布参数，?????(X1,?,Xn)是?的估计量，定义 ?,?)MSE(??E?(???2)为估计量??的均方误差，证明： ???,?)?E((????)2)?D(??)?(E(??)??)2. MSE(??)表示估计量??相对于中心位置E(??)的分散程度，(E(??)??)2则是估计的偏差平其中,D(?方，偏差和分散程度正是描述一个估计量表现的两个重要度量. 14. 设X1,X2,X3为总体X的样本，证明: ?1??111X1?X2?X3， 632212?2?X1?X2?X3 ?5552都是总体均值?的无偏估计，并进一步判断哪一个估计较有效. ?15. 设X1,?,Xn是取自总体X~N(0,1n2??2是?2的相合估计. 2???xi，试证：?ni?1)的一个样本，其中?2?0未知.令 习题十 25 习题十 1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：mm）服从正态分布 N(?,0.22).从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下： 14.7，15.0，14.9，14.8，15.2，15.1 求?的双侧0.90置信区间和双侧0.99置信区间. 2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布N(?,?)，?未知.为了决定商店对该商品的进货量，需对?和?作估计，为此随机抽取若干月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求?的双侧0.95置信区间和方差?2的双侧0.90置信区间. 3. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的s*?11，设子弹速度服从正态分布 2N(?,?2)，求这种子弹速度的标准差?和方差?2的双侧0.95置信区间. 4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（单位：％）正常情况下服从正态分布N(?,?)，且标准差??0未知.现测量五炉铁水，其含碳量分别是： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37， 试求未知参数?的置信水平为0.95的置信下限和置信上限. 5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布N(?,?).现抽查了25天，得 22x?170元，s?30元，求职工每天医疗费均值?的双侧0.95置信区间. 6. 一个容量为n=16的随机样本来自?和?未知的正态分布总体，已知样本均值 x?27.9和标准差s?3.23，求?的双侧0.95置信区间. *7. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为?的指数分布，其中?未知，??0，求参数?的双侧1??的置信区间. （提示：取枢轴函数2?nX，可以证明2?nX~?(2n).） *8. 化工厂经常用不锈钢处理腐蚀性液体，但是，这些不锈钢在某种特别环境下受到应力腐蚀断裂.发生在某炼油厂和化学制品厂的295个不锈钢钢失效样本中，有118个是由于应力腐蚀断裂的，求由应力腐蚀断裂引起的不锈钢钢失效比率真值的置信水平为95%的置信区间. （提示：可用中心极限定理构造枢轴函数.） 9. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线.设罐头重量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响.从甲生产线抽取10只罐头，测得其平均重量x?501 g，已知其总体标准差?1?5 g；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均重量y?498 g，已知其总体标准差?2?4 g.求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头重量的均值差的?1??2的双侧 226 工程数学 概率统计简明教程（第二版） 0.99置信区间. 10. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y（单位：104h），随机地抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据x1,?,x10和y1,?,y10且由此算得 x?2.33，y?0.75，?(xi?x)?27.5，?(yi?y)2?19.2. 2i?1i?11010假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等.试求两个总体均值之差?1??2的双侧0.95置信区间. *11. 在3 091个男生，3 581个女生组成的总体中，随机不放回抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE. *12. 抽取1 000人的随机样本估计一个大的人口总体拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人是拥有私人汽车的人，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人百分数的置信水平为95％的置信区间. 习题十一 27 习题十一 1. 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是接受H1时，可能犯什么错误； 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是拒绝H1时，可能犯什么错误. 2． 某厂生产的化纤纤度服从正态分布N(?,0.04).现测得25根纤维的纤度其样本均值x?1.39，试用p值法检验总体的均值是否为1.40. *3. 为了研究司机在驾驶车辆过程中使用手机的频率，在全国范围内随机选取了1 165个司机作为一个样本，其中有35个正在使用手机，用p值法检验司机使用手机的真实比率p是否等于0.02？?=0.05. *4. 科学家研究暴露于低氧对昆虫死亡率的影响.在一个实验室里放置成千上万只昆虫，将他们放置于低氧状态4天，结果发现其中31 386只死亡，35只存活.以前的研究表明，暴露于低氧的死亡率为99%，用p值法检验现在的昆虫暴露于低氧的死亡率是否高于99%??=0.1. 5. 某印刷厂旧机器每周开工成本服从正态分布N(100,25).现安装一台新机器，观测到九周平均每周开工成本x?75元，假定标准差不变，试用p值法检验每周开工平均成本是否是100. 6. 设(x1,?,x25)是取自总体N(?,100)的一个样本的观测值，要检验假设 22H0:??0，H1:??0. 试给出显著性水平?检验的拒绝域R. 7． 某纤维的强力服从正态分布N(?,1.19).原设计的平均强力为6，现改进工艺后，某天测得100个强力数据，其样本均值为6.35，总体标准差假定不变，试问均值的提高是否是工艺改进的结果（取??0.05）? 8. 监测站对某条河流的溶解氧（DO）浓度（单位：mg/L）记录了30个数据，并由此算得x?2.52,s?2.05.已知这条河流每日的DO浓度服从N(?,?)，试在显著性水平 22??0.05下，检验假设：H0:??2.7，H1:??2.7. 9. 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了25件作寿命测试，得数据（单位：h） 25x1,?,x25，并由此算得x?100，?xi2?4.9?105，已知这种电子元件的使用寿命服从 i?1N(?,?2)，且出厂标准为90 h以上，试在显著性水平??0.05下，检验该厂生产的电子 元件是否符合出厂标准，即检验假设：H0:??90，H1:??90. *10. 一位研究某一甲虫的生物学家发现生活在高原上的该种类的一个总体，从中取出n=20个高山甲虫，以考察高山上的该甲虫是否不同于平原上的该甲虫，其中度量之一是翅膀上黑斑的长度（单位：mm）.已知平原甲虫黑斑长度服从??3.14,??0.0505的正态 228 工程数学 概率统计简明教程（第二版） 分布，从高山上甲虫样本得到的黑斑长度x?3.23,s?0.4，假定高山甲虫斑长也服从正态分布，在显著水平??0.05下分别进行下列检验： （1）H0:??3.14(H1:??3.14); （2）H0:?2?0.0505(H1:?2?0.0505). 11. 随机地从一批外径为1 cm的钢珠中抽取10只，测试其屈服强度，得数据x1,?,x10，并由此算得x?2200，s*?220.已知钢珠的屈服强度服从正态分布N(?,?)，在显著性水平??0.05下分别检验： （1）H0:??2000(H1:??2000); （2）H0:?2?2002(H1:?2?2002). 12. 一卷烟厂向化验室送去A，B两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同.从A，B中各随机抽取重量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量（单位：mg）为： A：24，27，26，21，24， B：27，28，23，31，26. 据经验知，尼古丁含量服从正态分布，且A种的方差为5，B种的方差为8，取显著性水平 2??0.05，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异？ 13. 某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件.现从两件铸件中各抽一个样本进行硬度测试，其结果如下： 镍合金铸件（X）：72.0，69.5，74.0，70.5，71.8， 铜合金铸件（Y）：69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0. 根据以往经验知硬度X~N(?1,?1)，Y~N(?2,?2)，且?1??2?2，试在??0.05水平上比较镍合金铸件硬度有无显著提高. 14. 用两种不同方法冶炼的某种金属材料，分别取样测定其某种杂质的含量，所得数据如下（单位为万分率）： 原方法：26.9，25.7，22.3，26.8，27.2，24.5，22.8，23.0，24.2，26.4，30.5，29.5，25.1， 新方法：22.6，22.5，20.6，23.5，24.3，21.9，20.6，23.2，23.4. 假设这两种方法冶炼时杂质含量均服从正态分布，且方差相同，问这两种方法冶炼时杂质的平均含量有没有显著差异？取显著性水平为0.05. 15. 为了降低成本，某面包店在制作面包时采用了一种新的发酵方法.分别从新方法之前和之后制作的面包中随机抽样，并分析其热量.两组样本分析结果如下： 221n新方法：n＝50，y?1255,s2?215，其中s??(yi?y)2, ni?1221m原方法：m＝30，x?1330,s1?238，其中s??(xi?x)2. mi?121假设采用这两种方法其热量均服从正态分布，且方差相同，从以上数据分析能否认为因为采用了新的发酵方法使每个面包的平均热量降低了.取显著性水平为0.05. 习题十一 29 *16. 随机地挑选20位失眠者分别服甲、乙两种安眠药，记录下他们睡眠的延长时间（单 y?4.04,s2?0.004. 位：h），得数据x1,?,x10和y1,?,y10，由此算得x?4,s1?0.001，问：能否认为甲药的疗效显著地高于乙药？假定甲、乙两种安眠药的延长时间均服从正态分布，且方差相等，取显著性水平为0.05. *17. 灰色的兔与棕色的兔交配能产生灰色、黑色、肉桂色和棕色等四种颜色的后代，其数量的比例由遗传学理论是9︰3︰3︰1.为了验证这个理论，作了一些观测，得到如下数据： 灰色 黑色 肉桂色 棕色 总计 实测数 149 54 42 11 256 理论数 144（＝256×9/16） 48（＝256×3/16） 48（＝256×3/16） 16（＝256×1/16） 256 *2*2问：关于兔子的遗传理论是否可信（??0.05）？ *18. 某电话交换台在一小时（60 min）内每分钟接到电话用户的呼唤次数有如下记录： 呼唤次数 实际频数 0 8 1 16 2 17 3 10 4 6 5 2 6 1 7 0 问：统计资料是否可以说明，每分钟电话呼唤次数服从泊松分布（??0.05）？ *19. 1976-1977 年美国佛罗里达州29 个地区发生凶杀案中被告人判死刑的情况，白人参与凶杀案中被判死刑的比例要比黑人参与凶杀案中被判死刑的比例要高，具体数据如下： 被害人\\判刑结果 白人 黑人 死刑 30 6 非死刑 184 106 那么被害人的肤色的不同对死刑的判罚有没有影响？取显著性水平为0.05. 30 工程数学 概率统计简明教程（第二版） 习题十二 1. 下表给出了10个18岁成年女孩的身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）的数据如下： 序号 1 2 3 4 5 身高x 169.6 166.8 157.1 181.1 158.4 体重y 71.2 58.2 56 64.5 53 序号 6 7 8 9 10 身高x 165.5 166.7 156.5 168.1 165.3 体重y 52.4 56.8 49.2 55.6 77.8 假定体重服从正态分布. （1）构造体重y关于身高x的散点图，该散点图是否提示两者之间存在线性关系？ （2）给出体重y关于身高x的最小二乘回归直线. 2. 考察修理（服务）时间与计算机中需要修理或更换的元件个数的关系.记录了一组修理记录数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 修理时间x 23 29 49 64 74 87 96 元件个数y 1 2 3 4 4 5 6 序号 8 9 10 11 12 13 14 修理时间x 97 109 119 149 145 154 166 元件个数y 6 7 8 9 9 10 10 假定修理时间服从正态分布. （1）构造修理时间y关于修理的元件个数x的散点图，该散点图是否提示两者之间存在线性关系？ （2）给出修理时间y关于修理的元件个数x的最小二乘回归直线； （3）作回归系数b的显著性T检验，取显著性水平为5%； （4）给出b的置信水平为95%的置信区间. 3． 假定一保险公司希望确定居民住宅火灾造成的损失数额与住户到最近的消防站的距离之间的相关关系，以便准确地定出保险金额.下表给出了15起火灾事故的损失及火灾发生地与最近的消防站的距离. 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 距消防站距离x（km） 3.4 1.8 4.6 2.3 3.1 5.5 0.7 3 火灾损失 y（千元） 26.2 17.8 31.3 23.1 27.5 36 14.1 22.3 序号 9 10 11 12 13 14 15 距消防站距离x（km） 2.6 4.3 2.1 1.1 6.1 4.8 3.8 火灾损失 y（千元） 19.6 31.3 24 17.3 43.2 36.4 26.1 假定火灾损失数额服从正态分布. （1）构造火灾损失y关于距消防站距离x的散点图，该散点图是否提示两者之间存在线性关系？ 习题十二 31 （2）给出火灾损失y关于距消防站距离x的最小二乘回归直线； ?； （3）求回归模型随机误差的标准误差估计?*（4）作出平方和分解并列出方差分析表； （5）作回归系数b的显著性T检验，取显著性水平为5%. 4. 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的情况，决定认真调查一下现状.经过10周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目，x为每周签发的新保单数目，y为每周加班工作时间（h）（假定每周加班时间服从正态分布） 序号 1 2 3 4 5 新保单数x 825 215 1 070 550 480 每周加班时间y 3.5 1 4 2 1 序号 6 7 8 9 10 新保单数x 920 1 350 325 670 1 215 每周加班时间y 3 4.5 1.5 3 5 （1）构造每周加班工作时间y关于每周签发的新保单数目x的散点图，该散点图是否提示两者之间存在线性关系？ （2）给出每周加班工作时间y关于每周签发的新保单数目x的最小二乘回归直线； * （3）作回归系数b的显著性F检验，并列出方差分析表； （4）给出b的置信水平为90%的置信区间； （5）该公司预计下一周签发新保单x0?1000张，给出需要的加班时间的置信水平为95%的预测区间. 5. 为研究某一大都市报开设周日版的可行性，获得了35种报纸的平日和周日的发行量信息（以千为单位）.数据如下表所示: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 平日发行量x 391.952 516.981 355.628 238.555 391.952 537.78 733.775 198.832 252.624 206.204 231.177 449.755 288.571 185.736 1 164.388 444.581 412.871 272.28 周日发行量y 488.506 798.198 235.084 299.451 488.506 559.093 1 133.249 348.744 417.779 344.522 323.084 620.752 423.305 202.614 1 531.527 553.479 685.975 324.241 序号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 平日发行量x 781.796 1 209.225 825.512 223.748 354.843 515.523 220.465 337.672 197.12 133.239 374.009 273.844 570.364 391.286 201.86 321.626 838.902 周日发行量y 983.24 1 762.015 960.308 284.611 407.76 982.663 557 440.923 268.06 262.048 432.052 338.355 704.322 585.681 267.781 408.343 1 165.567 假定周日发行量服从正态分布. （1）构造周日发行量y关于平日发行量x的散点图，该散点图是否提示两者之间存在线性关系？ （2）给出周日发行量y关于平日发行量x的最小二乘回归直线； （3）计算确定系数R的值； （4）某一正在考虑提供周日版的报纸，平日发行量为500 000.给出该报纸周日发行量的置信水平为95%的预测区间. 6. 回归一词是英国统计学家高尔顿（F.Ｇalton，1822－1911）和他的学生皮尔逊 232 工程数学 概率统计简明教程（第二版） （Ｋ.Pearson，1856－1936）在研究父母身高与其子女身高的遗传问题时提出的.他们观测了928对夫妇，以每对夫妇的平均身高作为自变量x，而取他们的一个成年儿子的身高作为因变量y，他们发现：虽然高个子的父代会有高个子的子代，但子代的身高并不与其父代身高趋同，而是趋向于比他们的父代更加平均，就是说如果父亲身材高大而大大高于平均值，则子代的身材要比父代矮小一些；如果父亲身材矮小而大大低于平均值，则子代的身材要比父代高大一些.换言之，子代的身高有向平均值靠拢的趋向.因此，他用回归一词来描述子代身高与父代身高的这种关系.尽管“回归”这个名称的由来具有其特定的含义，人们在研究大量的问题中变量x与y之间的关系并不总是具有“回归”的含义，但用这个名词来表示x与y之间的统计关系也是对高尔顿这位伟大的统计学家的纪念. 现截取其中的10对数据如下（其中x为父母平均身高，y为儿子身高）： 序号 1 2 3 4 5 x 60 62 64 65 66 y 63.6 65.2 66 65.5 66.9 序号 6 7 8 9 10 x 67 68 70 72 74 y 67.1 67.4 68.3 70.1 70 （1）构造成年儿子身高y关于父母平均身高x的散点图，该散点图是否提示两者之间存在线性关系？ （2）给出成年儿子身高y关于父母平均身高x的最小二乘回归直线. ?xy； ??yi?b*7. 证明：（1）SSE??y?a?ii2ii?1ni?1i?1nnn?(x?x)(y?y). （2）SSE??(yi?y)?b?ii2i?1i?1n