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2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

10??1 1??已知矩阵A＝??，二阶矩阵B满足AB＝??. ?01??0－1?

(1) 求矩阵B；

(2) 求矩阵B的特征值．

B. (选修44：坐标系与参数方程)

π

设a为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋)＝1相切，求a

4的值．

C. (选修45：不等式选讲)

求函数y＝1－x＋3x＋2的最大值．

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【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，点M为PC的中点．

(1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值；

4

(2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ

5的值．

23. 在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L(n)．

(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值； (2) 求L(n)的表达式．

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2019届高三模拟考试试卷(南师附中)

数学参考答案及评分标准

143

1. {0，1} 2. －3 3. 18 4. 5. [0，1) 6. 3 7. 8. －13 9. －2 10. 18 11.

332＋2

12. (6，3) 13. 20，21 14. {－6} 2

15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝从而cos α＝1－sin2α＝(1) cos(α－分)

(2) 因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－所以cos β＝－

525，从而sin β＝1－cos2β＝.(8分) 55

105310252

×(－)＋×＝.(10分) 1051052

5

， 5

310

.(3分) 10

10. 10

10， 10

3π3π3π31021025)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(－)＋×＝－.(64441021025

于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝

π3π

因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(，)，(12分)

223π

从而α＋β＝.(14分)

4

16. 证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE，

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∵四边形ACEF是矩形，∴ EF∥AC，EF＝AC. ∵ O是正方形ABCD对角线的交点， ∴ O是AC的中点．

又点M是EF的中点，∴ EM∥AO，EM＝AO. ∴四边形AOEM是平行四边形， ∴ AM∥OE.(4分)

∵ OE平面BDE，AM平面BDE，

∴ AM∥平面BDE.(7分)

(2) ∵ 正方形ABCD，∴ BD⊥AC.

∵平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD∴ BD⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM

平面ACEF，∴ BD⊥AM.(10分)

平面ABCD，

∵正方形ABCD，AD＝2，∴ OA＝1.

由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形． ∵ AF＝1，∴四边形AOMF是正方形，(11分) ∴ AM⊥OF.(12分)

又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF∴ AM⊥平面BDF.(14分)

π

17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，)．

2

在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得 PC2＝OC2＋OP2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，

所以PQ2＝PC2－CQ2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝202cos θ.(4分)

所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋202cos θ， π

即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，)．(7分)

2(没写定义域，扣2分)

(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则

π

S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，)．(10分)

2

所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π

)．(12分) 2

令S′(t)＝0，得sin θ＝列表：

34－2

. 8

平面BDF，BD

平面BDF，

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