→??AC·m＝0，?3y1＝0由?得?取m＝(3，0，－1)；
→?x1＋3y1＋3z1＝0，??AK·m＝0→??AB·n＝0，?2x2＋3y2＝0，由?得?取n＝(3，－2，3)．
→?x2＋3y2＋3z2＝0，??AK·n＝0
m·n3于是，cos〈m，n〉＝＝.
|m|·|n|4
所以，二面角BADF的平面角的余弦值为
3. 4
角度二 由二面角求其他量
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．
【解】 (1)证明：连接BD，设AC与BD的交点为G，则G为AC，BD的中点，连接EG.在三角形PBD中，中位线EG∥PB，且EG在平面AEC内，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.
→→→
(2)设CD＝m，以A为原点，分别以AB，AD，AP的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，D(0，3，0)，E?0，
??31?
，?，C(m，3，0)． 22?
31?→→→?
所以AD＝(0，3，0)，AE＝?0，，?，AC＝(m，3，0)．
22??设平面ADE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， →??n·AD＝0，
则?解得n1＝(1，0，0)．
→??n·AE＝0，
同理设平面ACE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， →??n2·AC＝0，
则?
→??n2·AE＝0，
解得一个n2＝(－3，m，－3m)．
|n1·n2|
因为cos 60°＝|cos〈n1，n2〉|＝ |n1|·|n2|＝
13＝，解得m＝. 2223＋m＋3m2
3
AP1
设F为AD的中点，连接EF，则PA∥EF，且EF＝＝，EF⊥平面ACD，所以EF为三棱
22
锥E-ACD的高．
111313
所以VE-ACD＝·S△ACD·EF＝×××3×＝.
332228所以三棱锥E-ACD的体积为
求二面角大小的常用方法
(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
(2020·温州普通高中模考)如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝
90°，AB＝2，CD＝CB＝CP＝1，点P在底面上的射影为线段BD的中点M，点F为AB的中点．
3
. 8
(1)若点E为棱PB的中点，求证：CE∥平面PAD； (2)求二面角A-PB-C的平面角的余弦值．
解：(1)如图，由点P在底面上的射影为线段BD的中点M，且MC＝MB＝MF＝MD，则PC＝PB＝PD＝BC，
以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系B-xyz，则
B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(1，0，0)，D(1，1，0)， P?，，?11?222??112??，E?，，?， 2??444?
32?→→?1
则AD＝(1，－1，0)，AP＝?，－，?，
22??2→
CE＝?－，，?31
?442??， 4?
所以t＝(1，1，2)为平面PAD的一个法向量， →
所以CE·t＝0，所以CE∥平面PAD.
2?→→→?11
(2)BA＝(0，2，0)，BC＝(1，0，0)，BP＝?，，?，设平面BPA的一个法向量为m?222?＝(x，y，z)，
2y＝0→????BA·m＝0
由?，即?11， 2
→x＋y＋z＝0???BP·m＝02?22取m＝(2，0，－1)，
同理，平面BPC的一个法向量为n＝(0，2，－1)， 设θ是二面角A-PB-C的平面角，易见θ与〈m，n〉互补， 故cos θ＝－cos〈m，n〉＝－
m·n1
＝－， |m||n|3
1
所以二面角A-PB-C的平面角的余弦值为－.
3
[基础题组练]
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
解析：选C.不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1，0)，
A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－1，0，1)，
→
所以BA1＝(0，1，1)，
AC1＝(－1，0，1)，
→→
所以cos〈BA1，AC1〉 ＝
11＝＝，
→→2×22|BA1|·|AC1|
→
BA1·AC1
→→
→→
所以〈BA1，AC1〉＝60°，
所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
2．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，点D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )
12552A. B. C. D. 5555
解析：选C.以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，
z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，由AB＝AC＝1，PA＝2，得
??E?，，0?，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D?，0，0?，?22? 2
?
??
?
??F?0，，1?. ?
?
→→?1?
所以PA＝(0，0，－2)，DE＝?0，，0?，
?2?→
12
111
??DF＝?－，，1?.
?
设平面DFE的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·DE＝0，??y＝0，则由?得?
?→－x＋y＋2z＝0.???n·DF＝0，
→
取z＝1，则n＝(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈PA，
11
?22
→|PA·n|55n〉|＝＝，所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
→55|PA||n|
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1，
1??则A1(0，0，1)，E?1，0，?， 2??
D(0，1，0)，
→
所以A1D＝(0，1，－1)，
A1E＝?1，0，－?，
2
→
??
1?
?
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
y－z＝0，????y＝2，则?1所以?所以n1＝(1，2，2)．
?z＝2.1－z＝0，???2
因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 22
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
3×13