第7讲 立体几何中的向量方法

1．空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法(a，b分别为异面直线l1，l2的方向向量)

范围 求法 a与b的夹角β [0，π] cos β＝l1与l2所成的角θ ?0，π? ?2???|a·b|cos θ＝|cos β|＝ a·b |a||b||a||b|(2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的|e·n|角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝．

|e||n|

(3)二面角大小的求法

a．如图①，AB，CD是二面角α→→

的大小θ＝〈AB，CD〉．

lβ两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角

b．如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面

角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．

2．点到平面的距离的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离→|AB·n|d＝.

|n|

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )

?π??π?(4)两异面直线夹角的范围是?0，?，直线与平面所成角的范围是?0，?，二面角的

2?2???

范围是[0，π]．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ [教材衍化]

1．(选修2-1P104练习T2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．

m·n12

解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面

|m||n|1·22

角为45°或180°－45°＝135°.

答案：45°或135°

2．(选修2-1P112A组T6改编)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________．

解析：以D点为原点，以DA，DC，DD1的正方向为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，→→????E?0，，1?，则AC＝(－1，1，0)，DE＝?0，，1?，设异面直线DE与AC?

1

2

??

12

?

10→→

所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈AC，DE〉|＝.

10

答案：

10 10

3．(选修2-1P117A组T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．

解析：以C为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标A(2，0，0)，C1(0，0，3?3?

22)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2?，，22?.

?22?

3?→→?1

所以AC1＝(－2，0，22)，AC2＝?－，，22?，

?22?

→→

|AC1·AC2|

设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cos θ＝＝

→→|AC1||AC2|1＋0＋83π?π?＝.又θ∈?0，?，所以θ＝.

2?6?23×32

π

答案：

6[易错纠偏]

直线和平面所成的角的取值范围出错.

1

已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，

2则l与α所成的角为________．

1

解析：设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，所以θ＝30°.

2答案：30°

第1课时 空间角

异面直线所成的角

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.

点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，点M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE；

(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为7

，求线段AH的长． 21

→→→

【解】 如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为x轴、y轴、

z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz.依题意可得A(0，0，0)，B(2，

0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)．

→→

(1)证明：DE＝(0，2，0)，DB＝(2，0，－2)． 设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，

→??2y＝0，?n·DE＝0，?

则?即?

?→2x－2z＝0.??n·DB＝0，?不妨设z＝1，可得n＝(1，0，1)． →→

又MN＝(1，2，－1)，可得MN·n＝0. 因为MN?平面BDE，所以MN∥平面BDE.

(2)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)， →→

进而可得NH＝(－1，－2，h)，BE＝(－2，2，2)． →→|NH·BE|→→

由已知，得|cos〈NH，BE〉|＝

→→|NH||BE|＝

7＝，

h2＋5×2321|2h－2|

812

整理得10h－21h＋8＝0，解得h＝或h＝.

5281

所以，线段AH的长为或.

52

用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． [提醒] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．

1．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，点E为CC1的中点，则异面直线BC1

与AE所成角的余弦值为( )

A.

10

10215

10

B.30 10

C.

310D.

10

解析：选B.以D为原点，以DA，DC，DD1的正方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图．