（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为x=﹣∴点M、N关于直线x=对称， 设N（t，m），则M（1﹣t，m），

=，直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N，

∵点 M关于y轴的对称点为点M'， ∴M'（t﹣1，m）， ∴点M'在直线y=m上， ∴M'N∥x轴，

∴M'N=t﹣（t﹣1）=1， ∵H（1，0）， ∴OH=1=M'N，

∴四边形OM'NH是平行四边形， 设直线y=m与y轴交于点P， ∵四边形OM'NH的面积为， ∴OH×OP=1×m=，即m=， ∴OP=，

当x2﹣x﹣3=时， 解得x1=﹣，x2=，

∴点M的坐标为（﹣，）， ∴M'（，），即PM'=， ∴Rt△OPM'中，OM'=

∵四边形OM'NH的面积为， ∴OM'×d=， ∴d=

．

=

，

3．解：（1）由题意知，当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共点时，PF+MP的值最小，且FM的取值范围为：2≤FM≤4符合题意． ∵F（0，1），M1（2，0）， ∴FM1=

=

，符合题意．

FM4=5＞4．不符合题意；

当点M与F在抛物线的同侧时，MP+PF的值等于点M到直线l：y=﹣1的距离， ∵点M2到直线y=﹣1的距离为3， 2＜3＜4， ∴M2是抛物线y=

的关联点，

∵点M3到直线y=﹣1的距离为6， 6＞4，不符合题意， 综上所述，抛物线y=故答案是：M1，M2；

的关联点是M1，M2；

（2）①当t=4时，A（4，1），C（5，3）．B（5，1），D（4，3）． ∵F（0，1），

∴当点A与点M重合时，d=当点C与点M重合时，d=当点D与点M重合时，d=2

＞4，

==4； ，

当点B与点M重合时，d=5， ∴点M关于抛物线y=

的关联距离d的取值范围是：4≤d≤．

②∵在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3）， ∴B（t+1，1），点D（t，3）． （i）t＞0时，当点A在抛物线y=当点C在抛物线y=t=2

﹣1．

﹣1．

上时，把y=1代入y=

，得t=﹣3；

，故t=﹣2

．

上时，把y=1代入y=，得t=2；

，故

上时，d取最大值，此时4=CF，即4=

此时2≤t≤2

（ii）t＜0时，当点B在抛物线y=当点D在抛物线y=此时﹣2

≤t≤﹣3．

上时，d取最大值，此时4=CF，即4=

（iii）t=0时，A（0，1），C（1，3），B（1，1），D（0，3）．故矩形ABCD上的所有点都是抛物线y=

的关联点，

≤t≤2

﹣1．

综上所述，t的取值范围是：﹣2故答案是：﹣2

≤t≤2

﹣1．

4．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴OA=1．

又∵tan∠OAC=4， ∴OC=4， ∴C（0，﹣4）． ∵OC=OB， ∴OB=4， ∴B（4，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4） ∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．

（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），

∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称， ∴D（3，﹣4）

设直线AD的解析式为y=kx+b．

∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1． ∵直线AD的一次项系数k=﹣1， ∴∠BAD=45°． ∵PM平行于y轴， ∴∠AEP=90°， ∴∠PMH=∠AME=45°． ∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+

MP+

PM=（1+

，

）PM．

设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1），

则PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4． ∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4． ∴△MPH的周长的最大值=4×（1+

）=4+4；

（3）存在 点G的坐标为（

，0）或（

，0）．

附解题过程：设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4） ①如图1，

若则

= 时，△AOC∽△EGN．

=，整理得：a2+a﹣8=0． （负值舍去）∴点G为（

，0）

得：a=②如图2，