解得,,
∴点E坐标为(2﹣2c,2﹣c).
∵点C坐标为(0,c),点D坐标为(2,0), ∴直线CD的解析式为y=﹣x+c. ∵C,D,E三点在同一直线上, ∴2﹣c=﹣×(2﹣2c)+c, ∴c2+c﹣2=0,
∴c1=1(与c<0矛盾,舍去),c2=﹣2, ∴b=﹣,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2; (3)存在
①按(2)中方法可求得直线AP解析式为为y=x+1. ∴点P坐标为(2﹣2c,2﹣c) ∵AP∥CB,
当∠ACB=∠PBA时,△ABP∽△BCA 由题意可知,△ABP与△ABC底边相同 ∴
∵AB=2﹣2c,BC=
∴由相似三角形面积之比等于相似比平方
整理的c3﹣2c2﹣4c=0 ∵c≠0 ∴c2﹣2C﹣4=0 解得 c1=
(舍去),c2=
∴抛物线的解析式为:y=
②取点C关于x轴对称点C′(0,﹣c) 求直线AC′解析式为: y=﹣
求AC′与抛物线交点 x2+
x+c=﹣
解得x1=﹣2,x2=﹣4c
则P点坐标为(﹣4c,2c2﹣c) ∵∠CAB=∠BAP 当∠ABP=∠ACB时 △ACB∽△ABP
由题意可知,△ABP与△ABC底边相同
∵PB=∴1﹣2c=整理得 4c4+6c3=0 ∵c≠0 ∴4c+6=0
∴c=﹣,b=﹣
∴抛物线的解析式为:y=故答案为y=
或y=
13.解:(1)如图1,过点D作DK⊥y轴于K, 当x=0时,y=∴C(0,y=﹣
x2﹣,),
x+
=﹣
(x+
)2+
,
,
∴D(﹣),
∴DK=∴CD=
,CK=
=
﹣=,
=
;(4分)
x2﹣
x+
=0,
(2)在y=﹣解得:x1=﹣3∴A(﹣3∵C(0,
x2﹣,x2=
x+,
中,令y=0,则﹣
,0),B(),
,0),
易得直线AC的解析式为:y=设E(x,∴PF=﹣
x2﹣
),P(x,﹣x+
,EF=
,
, x2﹣
,
x+
),
Rt△ACO中,AO=3∴AC=2
,
,OC=
∴∠CAO=30°, ∴AE=2EF=∴PE+EC=(﹣=﹣=﹣=﹣
﹣﹣(x+2
, x2﹣
x+﹣(
)﹣(
x+)],
)+(AC﹣AE),
x+ [2x﹣)2+
x,
,(5分)
,此时P(﹣2
,
),(6分)
∴当PE+EC的值最大时,x=﹣2∴PC=2
,
,
∵O1B1=OB=
∴要使四边形PO1B1C周长的最小,即PO1+B1C的值最小, 如图2,将点P向右平移
个单位长度得点P1(﹣
,﹣
,
),连接P1B1,则PO1=P1B1,
再作点P1关于x轴的对称点P2(﹣∴PO1+B1C=P2B1+B1C,
),则P1B1=P2B1,
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1, ∴B1(﹣
,0),
将B1向左平移个单位长度即得点O1,
=
,
此时PO1+B1C=P2C=对应的点O1的坐标为(﹣
,0),(7分)
+3+
;(8分)
.(12分)
∴四边形PO1B1C周长的最小值为(3)O2M的长度为
或
或2
或2
理由是:如图3,∵H是AB的中点, ∴OH=∵OC=
, ,
,
∴CH=BC=2
∴∠HCO=∠BCO=30°, ∵∠ACO=60°,
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上,即O2在AC上, ∴∠B2CA=∠CAB=30°, ∴B2C∥AB, ∴B2(﹣2
,
),
①如图4,AN=MN,
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,
由旋转得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1, ∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°, 过C1作C1E⊥B2C于E, ∵B2C=B2C1=2∴
,
,
=B2O2,B2E=
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1, ∠B2O2M=∠C1EC=90°, ∴△C1EC≌△B2O2M, ∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2
﹣
;
,
②如图5,AM=MN,此时M与C重合,O2M=O2C=③如图6,AM=MN, ∵B2C=B2C1=2
=B2H,即N和H、C1重合,