图46 图47
4.5.5尺规作正七边形？有人给出了用尺规作正七边形的作法。如图47，作正△ABC，点D是△ABC的重心，E是AB中点；以A为圆心，AE为半径作圆交圆D于F；继续作圆，得到G、H、I、J、K；那么七边形AFGHIJK是不是正七边形呢？看起来好像是的。但我们测量一下AK和KJ的长度，就会发现两者之间有细微的差别。
5. 圆锥曲线的教学片段
动态几何这门课程，不仅仅是让学生掌握一个计算机工具。更重要的是让学生重新认识数学，感悟数学，去除掉以前“数学等于解题”的错误观念。为了上好这门课，笔者花费大量时间收集素材，整理案例。同时也对教学进行反思，下文记述的是笔者讲解圆锥曲线时的讲课过程，与大家分享。 5.1从垂线段到区间套定理
首先提一个问题：求直线MN外的点O到直线的最短距离？这还不简单！作一条垂线段测量即可。 如果浅尝辄止，很多时候都会错失美景。继续追问，如何作垂线段？通常采用尺规作图的方式，如图48，先用到圆规以O为圆心先作一圆，交直线MN于M1、N1两点。接下来就是作M1N1的中点，为了不走老路，我们需要求变。继续以O为圆心，作一较小的圆交直线MN于M2、N2两点，显然M1N1的中点也是M2N2的中点，但M2N2的长度要比M1N1小。如此这般继续作圆，如图49，当Mi、Ni两点合二为一时，圆与直线MN相切，OMi即为所求最短距离。
图48 图49
有人可能会觉得很麻烦，直接用笔大致画一条垂线段不是省事多了？战略性地迂回，是为了更好地前进。仔细体会，就会发现这其中不单使用了动态逼近的数学方法，更重要的是蕴含了数学分析中的区间套定理。区间套定理对于刚接触高等数学的大学生而言是比较抽象的，而图49可看作是闭区间套定理的一个直观模型。对比区间套定理的内容，联系垂径定理，容易看出图49中的点P即为区间套定理中的唯一一点
?。
设闭区间列{[an具有如下性质：（1）[an,bn]?[an?1,bn?1]，n?1,2,?；（2）,bn]}lim(bn?an)?0；则称{[an,bn]}为闭区间套，或简称区间套。显然，若{[an,bn]}为区间套，则
n??a1?a2???an???bn???b2?b1。
区间套定理：若{[an,bn]}为一个区间套，则在实数系中存在唯一一点?，使得??[an,bn]，
n?1,2,?；即an???bn，n?1,2,?。
近年来，数学教育研究反复强调初等数学中渗透高等数学；反过来，在高等数学的教学中却很少看到初等数学的身影，这让很多大学生觉得很迷茫，学了这么多年的初等数学，进入大学以后，好像一下子全用不上了，一切都得从头开始。其实，高等数学中的很多定理和法则都可以在初等数学中找到直观模型。 5.2从圆到椭圆
乘胜追击，再提一个问题：点F1、F2在直线MN的同侧，问如何在MN上找一点P，使得F1P?PF2取得最小值？
这个问题比前一个问题稍微难一点，但还是比较简单！常常被加上背景，取名为“将军饮马”，是平面几何中的经典问题。如图50，作F1关于MN的对称点Q，连接F2Q交MN于P，P点即为所求。
对比这两个问题，可认为是“一点”与“两点”的区别，让人容易联想到圆与椭圆也存在这样的关系。通过前面的探索，我们完全可以类比，用椭圆来代替圆来解“将军饮马”问题。如图51，以两定点F1、F2为焦点作椭圆交直线MN于M1、N1，再以F1、F2为焦点作较小的椭圆交直线MN于M2、N2，显然
F1N1?F2N1?F1N2?F2N2。如此这般继续作椭圆，当Mi、Ni两点合二为一时，椭圆与直线MN相
切，F1Ni?F2Ni即为所求最短距离。
如图51，将两种作法摆放在一起综合考虑，可以得到椭圆的一个光学性质：如果光从一个焦点射出，则根据光的的反射定律——入射角等于反射角，所有光线经过椭圆镜面反射之后，都聚集在另一焦点处。换句话说，椭圆的切线与过切点的两焦半径所夹的锐角相等。
此处的结论得来相当自然，非常直观，让人印象深刻，又不需要作计算。长期以来解决“将军饮马”问题，就好像只有作对称点这一种方法，有点“华山自古一条道”的味道，这是由于手工绘制椭圆较为麻烦。但现在有了绘制椭圆的动态几何技术，则可以更多元的解决问题。这也让我们引起思考，传统手段下还有多少问题可以改进？
图50 图51 5.3从二合为一到一分为二
“将军饮马”思考的是两条线段和的问题，处理办法是通过作对称点使得两条本不在一条直线上的线段转化成一条直线上了。而有时我们却需要将一条线段分成两条线段，譬如在作椭圆的时候。
如果要用原始定义绘制椭圆，先作出两定点A、B，然后联想定长，记忆中好像只有圆的定义出现定长字样，所以我们可以以A为圆心、AC为半径作圆，此时半径AD是定长了。接下去怎么作呢？作对称？换个角度看图50，MN可看作FQ的中垂线，而F2Q可分解为F11P和F2P。如果还想不出来，可以用超级画板试着探究。如图52，只要连接BD，作出BD的中垂线交BD于E，交AD于F，当点D在圆上运动时，F的轨迹就是一个椭圆了。利用信息技术的好处就是，有些点可以动起来；若将点B拖出圆外，椭圆则会变成双曲线（图53）。道理很简单，和为定值变成差为定值了。
图52 图53 这两个椭圆总是保持相切关系。
在图52的基础上，我们稍加变化，就能作出两个相切的椭圆（图54），填充好颜色，让点D运动起来，
图54 图55
5.4学生反应
同学们对这样讲课的方式比较认可。有学生总结说：虽是简短片段，但广泛的联系，巧妙的类比，直观的模型，循序渐进的引入，将很简单很经典的问题讲出了新意，很有意思。 6. 学生对这门课的评价和反馈
赖同学说：这门课叫动态几何是有它的缘由的。刚开始看到这一个名称时，自己心中觉得非常的好奇。几何图形也有动态的？真够奇特的啊！于是我便带着这一份好奇心去上课了！上了这么久的课，我的好奇心也得到了十分的满足，还记得“双卵相依”的缠绵，还记得“四龟互追”的趣味，还记得“拼图与勾股定理”的神奇，这些动态的图案活生生地映入了我的脑海里，怎能忘却啊！？我想这门课将永远储存在我的内心深处。还有就是超级画板的那个软件我将永远保存在我的电脑里，永远！
农同学说：学习《超级画板》，增长了我的知识；对它的运用，又可以让我在以后的数学教学中能尽情地施展个性，可以增长我的教学智慧，对我以后进行教学真的有很大的帮助。虽然这门课快结束了，但今后我还会自己再继续学习这个软件，让自己增长更多的知识。这就是我上这门课的最大的心得体会。 徐同学说：刚开始接触这门课时，发觉很好玩，学习它的兴趣蛮浓的。我可以坦白的说：我从没有旷过课，上课时很少做与课程内容无关的事。这门课对于中学数学的多媒体教学大有用处，形象、直观，很容易调动学生学习数学的积极性，也可以帮助老师解释清楚语言无法准确表达的知识。当然作为数学系的学生，它无疑可以帮助我们去探索、去研究。在解题的过程中，可以迅速的得出准确结果，提高了做题的效率。
袁同学说：这个软件最大的优点便是实用。它里面涵盖了强大的几何作图功能，而且，还可以编一些简单程序。它可以解决诸于解析几何、函数图像、平面几何、代数运算、立体几何等问题，甚至可以解决其它学科的问题。在中学教学里，平面轨迹、立体几何一直是个难点，因其对学生的抽象思维要求非常高。许多同学因为无法逾越这一难题而逐渐失去对数学的兴趣，而且，即使是那些学得不错的学生，他们主要靠经验、固定套路做题，他们并不理解原理。这样又怎么期望他们去学以致用！所以，中小学教学里引入超级画板十分必要，还可以引起教学方法的变革。我认为：作为一名师范生，很有必要把这一软件学好，用好。
査汗同学说：刚开始选这门课的时候，我并不了解这门课教些什么内容，抱着仅仅多修一个学分的心态。刚开始学习的时候，了解到是为了做课件，因为曾经高考完帮助教过我的老师做过教学课件，当时用fash跟多媒体的效果超链接到PPT表现出一些数学课件中的效果，但是我想做课件不是有PPT，fash，多媒体嘛，学习这软件是不是也跟其他的软件一样呢？没有想到动态几何比这些软件好用，也不是那么枯燥乏味。有一类题目，我给我那个家教辅导的学生讲了N遍，还是不会做；后来我用超级画板一演示，她看了就说懂了。之后，每次讲这种类型的轨迹题，我都用这个软件，很明显学生理解起来轻松多了，我想这就是这个软件的好处带来的效果，简单明了。虽然当时给那个高中生演示双曲线的性质的操作中感觉有点困难，不过多次练习就很容易上手了。学习这门课我觉得最大的收获是不但是我学到了一项新的技能，同时也处理了比较难用手画的函数。现在是一个电脑科技的时代了，很少人用手画比较难的图了吧。藉由电脑的辅助，画出的图又快又美观，真是一举两得。而私底下与同学的讨论，也学会与人互相帮助的人际关系，亦是另外一个学习与人沟通的方法。我觉得学习动态几何好像真是学习两门课，是真的值得了，简直就是物超所值了。在未来的日子里，我还是要加强学习，不怠慢。同时也不忘加强与他人相处的互动关系。说真的这学期过的很快，不过修这门课确实让我学习到了很多东西，这些都是很有用的。
甘同学说：我认为这门课是我在大学期间学过的最有应用价值的课。不是在拍马屁，是因为大学里的好多课都好难，而我恰恰算是很多人眼中那种胸无大志的人，只想当一名高中教师，而现在很多课，例如“实变函数”这门课连看都看不懂，考试之前为了应考就不得不背答案，这样，学习变得毫无意义。我觉得自己是一个比较叛逆的学生，而现在的学生更叛逆，所以如果是一味的讲课学生根本就听不进去。而彭老师您却可以在上课期间讲很多有趣的事来吸引我们的注意，而我也很佩服您的心态，那种很淡然的心态。不知怎么的，上大学之后有种厌学的心态，在一大堆数字和字母中很难再找到让自己开心的元素。不过，至少这门课能够让我体会到了久违的数学带来的满足和喜悦。