图29 图30
图31 图32
4.5案例9：高考题与呼啦圈
不单是上新课时需要使用信息技术激发学生兴趣，解决教学难点，习题课也难免。下面是一位老师讲解习题的记录。
“问题：已知平面上点P?{(x,y)|(x-2cost)平面上组成的图形的面积是＿＿＿＿＿＿。
这道题怎样讲解学生才能理解呢？回办公室后，听师傅说点P所形成的图形就好比转动呼啦圈的时候，呼啦圈上的点所形成的图形，一语惊醒梦中人，对啊，恰当、形象的比喻就在身边。在给第二个班级分析的时候，我就在第一个班级的基础上，加了一段说明：形象一点说，点P所形成的图形就好比我们在玩呼啦圈的时候，呼啦圈上的点所扫过的地方。其中圆O就好比我们的腰，当呼啦圈在某个位置，并和我们的腰相碰的时候，就是圆O1等所在的位置，当然呼啦圈不可能扫过我们的腰，所以圆O的内部要除去。”
这个题目对于中学生来说，并不是很简单，需要较强的想象能力。而对老师而言，讲清楚这道题目也不容易，因为其中牵涉运动变化的思想。后来经老教师指点，一语惊醒梦中人，用呼啦圈为比喻，才真正把这道题说明白了。
这一过程中，老教师的指点起到了关键性作用，但看似随意的指点，其中包含了多少年经验的积累。经验的积累是一个长期的过程，年轻教师有没有速成的办法呢？可以使用信息技术。只要绘制圆
2+(y-2sint)2=16(t?R)}，则满足条件的点P在
(x-2cost)2+(y-2sint)2=16，跟踪圆，作参数t的动画即可得到图
有困难。这说明使用信息技术就更有必要了。
33，用超级画板操作总共不过是几
分钟的事情罢了。作者在一些培训中和动态几何课上测试过这个题目，发现很多老师和准教师解答此题还
图33
4.5案例9：初等数学探究举例
4.5.1托勒密定理是著名的定理。内容是圆内接四边形中，对角线的乘积等于对边乘积之和。如果把点D膨胀成圆（图34），用另外3点到此圆的切线长代替对应的线段，等式是否还仍然成立呢？这并不显然。用超级画板作图检验一下居然好像成立！你能证明吗？
图34
点不但可以膨胀成圆，也可以膨胀成正方形。
原题：如图35，分别以△ABC的两边AB，AC向外作两个正方形，点I为DG中点，延长IA交BC于H，则AI?BC且2AI?BC。
?HC且
变形：如图36，正方形ABCD、DEFG、FHIJ共顶点D、F；点K为AJ中点，求证：EK2EK?HC。
图35 图36
4.5.2面积比的推广。曾遇到这样一个题目：如图37，最中间的三角形为直角三角形，6个四边形都是正方形，求证
S4?S5?S6?3。此问题能否推广到一般的三角形中去呢？多次用超级画板探
S1?S2?S3究，没有发现。后来作了一个转化，根据S1?S5，于是猜想
S1?S4?S6?3是不是对所有三角形
S2?S3?S5都成立呢？用超级画板验证，果然是对所有三角形都成立。
图37
证明此结论不难，反复利用余弦定理即可。此问题还可作进一步推广，仅简单介绍。如图38，继续作正方形，可得
S7?S8?S9?16，解答同样是用余弦定理。若再次以梯形的底边作正方形，则生
S1?S2?S3成图形有如勾股树那样无穷无尽，不妨称之为“余弦树”，与勾股树相对。所谓勾股树，是从一个正方形出发，利用勾股定理不断分解得到2个正方形，4个正方形，8个正方形??。另外还可作一些探究，譬如图39中就隐藏面积关系
SRJFQ?SSTND?SLHUVSGACF?SDEBA?SBHIC?7。
图38 图39
4.5.3帕斯卡定理的各种情况。如果一个六边形内接于一条二次曲线，那么它的三对对边的交点在同一直线上。其中六边形既可以是简单的六边形，也可以是自身相交的六边形。还有一些特殊情况，譬如当某些点重合的时候（图40—图45）。
图40 图41
图42 图43
图44 图45
4.5.4命题中的多余条件。数学家Arthur Engel认为“创造一个问题比解决一个问题更为困难，创造问题几乎没有什么一般的准则。据我所知，在命题者的行列中，还没有一个Polya写出一本名叫《怎样命题》的书籍”。这充分说明了命题是一件充满创造性的工作。虽然命题人大多数学水平比较高，但智者千虑必有一失，有时由于考虑不周，也会出现“冗余条件或错误条件”的情况。譬如下面这道题：设
p?0,q?0，且p3?q3?2.求证p?q?2。
这是一道很经典的数学题，很多资料都有提到，解法也很多，下面这种证法是容易理解的。
p3?1?1?33p3?3p，q3?1?1?33q3?3q，所以p3?q3?4?3p?3q，6?3p?3q，即p?q?2.
证法1：
能否利用数形结合来解题呢？利用超级画板的参数作图功能绘制函数，如图46所示。作出图之后，题
?y3?2的点都在x?y?2区域内。不过我们既然用了计算机这种新
33手段，能否探究出一些新内容呢？细心观察就会发现满足x?y?2的点不一定要局限在第一象限内，也就是说原题目中的条件“p?0,q?0”多余的。也许有人会说，这是出题人为了降低难度，故意多给
目结论是显然的了：凡是满足x出条件。但笔者不这样认为，请看下面两种证法，没有用到多余的条件，而且证法也不复杂，容易接受。
证法2：（反证法）若
3p?q?2，则?p?q??8,p3?q3?3pq?p?q??8.反复使用
23p3?q3?2，则2?3pq?p?q??8?pq?p?q??2?pq?p?q??p3?q3
?pq?p2?pq?q2?0??p?q?
，这不可能，所以
p?q?2.