是两条互相垂直的直线，上面有一些刻度，而这些刻度使得作点更容易了。
探究是否到此结束了呢？没有！有学生在学习了反比例函数之后，甚至学了双曲线之后，还会联想起图13，猜想图13中的线段所围成的曲线是双曲线。但事实上不是双曲线，而是抛物线！如图14，在
?ABC的两边各取D、E两点，使得
是抛物线。
ADBE?，当点D在AB上运动时，DE的轨迹所围成的图形就ABBC
图11 图12
图13 图14
作出抛物线之后，如何作椭圆和双曲线呢？如图15，点C是圆内一点，点D是圆上一点，作直线垂直CD，当D运动起来，垂直直线所形成的轨迹就是椭圆。把点C拖动到圆外，会得到双曲线，如图16所示。
以前很多学生在大学数学专业学了4年数学，被各种抽象的概念（譬如微分方程中的包络）搞晕了头的时候，还不知道原来自己早就见过。这不得不让人觉得有些惋惜。动态几何的开设让学生减少了遗憾，让大家在玩中学到数学。借助于动态几何软件，能够将最简单的小学生连线问题和大学微分方程的包络联系起来。动态几何绝对不容小看！
图15 图16
4. 哪些内容学生认为很有用
开设一门课程，仅仅是有趣是不够的。任何课程的开设都有其目的，希望能够起到这样或那样的作用。当然，上文所说的激发学生学习数学的兴趣肯定也算作用之一。下面更进一步来谈谈这门课的作用：首先
表现在对学习高等数学的帮助，其次则是表现在对中学数学教学的有用。 4.1案例5：理解特殊函数
在高等数学的学习过程中，肯定会遇到病态曲线，它们有着一些奇怪的性质。譬如函数
1y?sin()，
xx图
当x→0时，函数以一种不断增加的频率振动，这种函数绘图是有难度的，所以很少有教科书绘制了这一函数。对于这么特殊的函数，学生肯定有兴趣看看它长什么样子？而另一个函数像反而不被认为是病态曲线，这是为什么呢？
学习了动态几何课程之后，学生就能自己绘制这一函数了。图17足以让大家感受到“该函数的振动如何剧烈，为什么会命名为病态曲线了”。图18则明显没有这种奇怪的振动现象。
1y?xsin()多乘了
x
图17 图18
一个学生在作业中写道：选修了动态几何这门课，解开了我心中的一个疑惑。以前在课外书上看到“渐近曲线”这一说法，一直不能理解，现在利用超级画板作个图就全清楚了。譬如。 y?x2（图19）
y?x2?1x2的渐近曲线
为
图19 图20 4.2案例6：线动成面与微积分原理
线动成面。圆面的生成可以有多种方法，可用一条半径旋转一周生成（图20），那我们分解圆面积时可考虑将圆面分成很多小扇形。如图21，先将圆分成若干等份，然后将圆弧展开，接着将上边部分平移一个三角形的位置，最后将上边部分插入到下边部分。我们可以调整分解圆的份数，容易看出，分得越细，最后的图形越接近于矩形，其面积S?C2?r?r??r??r2。 22也可以认为圆面是由一个半径可变的圆运动生成（图22），半径从0变大到R，那么圆面积可看作是这一族动圆周的集合。如图23，将这一族圆周展开成一个底为
2?R，高为R的三角形，因此
12S??(2?R)?R??R。
2
图21 图22
图23 图24
4.3案例7：作图演示眼见为实
在学习包络这一知识点时，一些同学总把包络和相切联系在一起，认为只要是包络，就必然存在相切
x2y2关系。其实不然，我们可以作一个反例。如图24，以椭圆2?2?1内平行y轴的弦为直径作圆，当点
abA运动时，此圆族的包络如图25所示。容易看出，当点A靠近原椭圆的两长轴顶点时，圆与新生成的椭圆不相交，更谈不上相切。同时容易观察出新椭圆和原椭圆有相同的对称轴，且短半轴相等。
图25 图26
学习概率时，如果还一次有一次地去做一些繁琐的实验，是没必要的，教学没有效率。图26是英国科学家高尔顿设计的一个非常经典的概率实验。从上端放入一小球,任其自由落下。在下落过程中当小球碰到钉子时从左边落下与从右边落下的机会恒定，碰到下一排钉子时又是如此，最后落入底板中的某一格子。因此任意放入一球，则此球落入那一个格子实现难以确定。利用计算机演示，过程清楚，节约时间。 4.4案例8：勾股定理万能证明
在西方，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理。相传，古希腊数学家毕达哥拉斯是通过观察地板图案发现了勾股定理。由于当时的地板图案都是一样大小的正方形，所以毕达哥拉斯最先发现的勾股定理是针对等腰直角三角形这一特殊情况。
设计一种地板图案如图27所示，您若一眼就能看出该图蕴含了勾股定理的三种证法，那就恭喜您有不错的几何直觉！其实，图中的奥妙远不局限于此。假如设计一种由一大一小正方形铺成的地板，然后我们拿一个正方形纸板（其边长的平方等于原来两个正方形的边长平方和）随手往上一扔，一扔就得到一种证法。扔到特殊位置，面积分割起来就比较简单一点；而扔到一般位置，面积分割起来就需要多一些功夫。
为了更清楚地展示，我们用超级画板制作了一个课件《勾股定理万能剪拼法》。此课件使用很简单，只要拖动屏幕上两个点，就能批量产生勾股定理面积分割证明。
图28——图25只是我们截取的部分图片，只要你有时间，完全可以找到更多的证明。利用计算机软件，批量的生成证明，是一件很有趣的事情，这也是以前很少见到的。这样的课件，在教学中是很需要的。
图27 图28