点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出?AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目．

12．解决问题：

?1?如图①，半径为4的eO外有一点P，且PO?7，点A在eO上，则PA的最大值和

最小值分别是______和______．

?2?如图②，扇形AOB的半径为4，?AOB?45o，P为弧AB上一点，分别在OA边找

点E，在OB边上找一点F，使得VPEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出VPEF周长的最小值； 拓展应用

?3?如图③，正方形ABCD的边长为42；E是CD上一点(不与D、C重合)，

CF?BE于F，P在BE上，且PF?CF，M、N分别是AB、AC上动点，求VPMN周长的最小值．

【答案】（1）11，3；（2）图见解析，VPEF周长最小值为42；（3）410?42． 【解析】 【分析】

?1?根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直

线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；

?2?作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与

OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求，此时VPEF周长最小，然后根据等腰直角

三角形求解即可；

?3?类似?2?题作对称点，VPMN周长最小?PP12，然后由三角形相似和勾股定理求解．

【详解】

解：?1?如图①，Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，

此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．

?PA的最大值?PA2?PO?OA2?7?4?11，

PA的最小值?PA1?PO?OA1?7?4?3， 故答案为11和3；

?2?如图②，以O为圆心，OA为半径，画弧AB和弧BD，作点P关于直线OA的对称点

P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB分别交于点E、F，点E、

F即为所求．

连接OP1、OP2、OP、PE、PF，

由对称知识可知，?AOP，PF?P2F 1??AOP，?BOP2??BOP，PE?PE1o∴?AOP1??BOP2??AOP??BOP??AOB?45， ooo?POP?45?45?90， 12?VPOP12为等腰直角三角形，

， ?PP12?2OP1?42，此时VVPEF周长?PE?PF?EF?PEPEF周长最小． 1?P2F?EF?PP1242故答案为42；

?3?作点P关于直线AB的对称P1，连接AP1、BP1，作点P关于直线AC的对称P2，

连接P1、P2，与AB、AC分别交于点M、N．如图③ 由对称知识可知，PM?PM，PN?P2N，VPMN周长1?PM?PN?MN?PM1?P2N?MN?PP12，

此时，VPMN周长最小?PP12．

由对称性可知，?BAP1??BAP，?EAP1?AP?AP2， 2??EAP，APo∴?BAP1??EAP2??BAP??EAP??BAC?45

ooo?P1AP2?45?45?90，

?VP1AP2为等腰直角三角形，

AP最短时，周长最小． ?VPMN周长最小值PP12?2AP，当连接DF．

QCF?BE，且PF?CF，

??PCF?45o，

PC?2 CFQ?ACD?45o，

??PCF??ACD，?PCA??FCD， AC?2， 又CDACPC?在VAPC与VDFC中，?，?PCA??FCD

CDCF?VAPC∽VDFC， APAC???2， DFCD∴AP?2DF

Q?BFC?90o，取AB中点O．

?点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短．

DF?DO?FO?OC2?CD2?OC?(22)2?(42)2?22?210?22，

?AP最小值为AP?2DF ?此时，VPMN周长最小值

PP2AP?2?2DF?2?2210?22?410?42． 12???

【点睛】

本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．

13．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点

?上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO. D在劣弧OA(1)求⊙M的半径； (2)求证：BD平分∠ABO；

(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．

【答案】（1）M的半径r＝2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为(【解析】

26，2)． 3试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出BH=BA=22，从而求出OH的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.

试题解析：（1）∵点A为（6，0），点B为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：AB=22∴eM的半径r=

1AB=2. 2（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD平分∠ABO

（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－

2=2

在Rt△AOB中，

OA?3∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° OB在Rt△HBE中，HE=BH2626∴点E的坐标为（，2） ?333

考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.

14．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C． （1）求证：AE与⊙O相切于点A；

（2）若AE∥BC，BC＝23，AC＝2，求AD的长．