中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题及答案 下载本文

点睛:本题是圆的综合题,主要考查了弧长公式,莱洛三角形的周长,矩形,扇形面积公式,解(1)的关键是求出?AC的弧长,解(2)的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形,解(3)的关键是得出点I第一次回到起点时,I的路径,是一道中等难度的题目.

12.解决问题:

?1?如图①,半径为4的eO外有一点P,且PO?7,点A在eO上,则PA的最大值和

最小值分别是______和______.

?2?如图②,扇形AOB的半径为4,?AOB?45o,P为弧AB上一点,分别在OA边找

点E,在OB边上找一点F,使得VPEF周长的最小,请在图②中确定点E、F的位置并直接写出VPEF周长的最小值; 拓展应用

?3?如图③,正方形ABCD的边长为42;E是CD上一点(不与D、C重合),

CF?BE于F,P在BE上,且PF?CF,M、N分别是AB、AC上动点,求VPMN周长的最小值.

【答案】(1)11,3;(2)图见解析,VPEF周长最小值为42;(3)410?42. 【解析】 【分析】

?1?根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中,最远是和最近的点是过圆心和该点的直

线与圆的交点,容易求出最大值与最小值分别为11和3;

?2?作点P关于直线OA的对称点P1,作点P关于直线OB的对称点P2,连接P1、P2,与

OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求,此时VPEF周长最小,然后根据等腰直角

三角形求解即可;

?3?类似?2?题作对称点,VPMN周长最小?PP12,然后由三角形相似和勾股定理求解.

【详解】

解:?1?如图①,Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中,最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上,

此直线与圆有两个交点,圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离.

?PA的最大值?PA2?PO?OA2?7?4?11,

PA的最小值?PA1?PO?OA1?7?4?3, 故答案为11和3;

?2?如图②,以O为圆心,OA为半径,画弧AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点

P1,作点P关于直线OB的对称点P2,连接P1、P2,与OA、OB分别交于点E、F,点E、

F即为所求.

连接OP1、OP2、OP、PE、PF,

由对称知识可知,?AOP,PF?P2F 1??AOP,?BOP2??BOP,PE?PE1o∴?AOP1??BOP2??AOP??BOP??AOB?45, ooo?POP?45?45?90, 12?VPOP12为等腰直角三角形,

, ?PP12?2OP1?42,此时VVPEF周长?PE?PF?EF?PEPEF周长最小. 1?P2F?EF?PP1242故答案为42;

?3?作点P关于直线AB的对称P1,连接AP1、BP1,作点P关于直线AC的对称P2,

连接P1、P2,与AB、AC分别交于点M、N.如图③ 由对称知识可知,PM?PM,PN?P2N,VPMN周长1?PM?PN?MN?PM1?P2N?MN?PP12,

此时,VPMN周长最小?PP12.

由对称性可知,?BAP1??BAP,?EAP1?AP?AP2, 2??EAP,APo∴?BAP1??EAP2??BAP??EAP??BAC?45

ooo?P1AP2?45?45?90,

?VP1AP2为等腰直角三角形,

AP最短时,周长最小. ?VPMN周长最小值PP12?2AP,当连接DF.

QCF?BE,且PF?CF,

??PCF?45o,

PC?2 CFQ?ACD?45o,

??PCF??ACD,?PCA??FCD, AC?2, 又CDACPC?在VAPC与VDFC中,?,?PCA??FCD

CDCF?VAPC∽VDFC, APAC???2, DFCD∴AP?2DF

Q?BFC?90o,取AB中点O.

?点F在以BC为直径的圆上运动,当D、F、O三点在同一直线上时,DF最短.

DF?DO?FO?OC2?CD2?OC?(22)2?(42)2?22?210?22,

?AP最小值为AP?2DF ?此时,VPMN周长最小值

PP2AP?2?2DF?2?2210?22?410?42. 12???

【点睛】

本题考查圆以及正方形的性质,运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.

13.如图,在直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A(6,0)与点B(0,-2),点

?上,连结BD交x轴于点C,且∠COD=∠CBO. D在劣弧OA(1)求⊙M的半径; (2)求证:BD平分∠ABO;

(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为⊙M的切线,求此时点E的坐标.

【答案】(1)M的半径r=2;(2)证明见解析;(3)点E的坐标为(【解析】

26,2). 3试题分析:根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度,根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度,然后得出半径;根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD,然后结合已知条件得出角平分线;根据角平分线得出△ABE≌△HBE,从而得出BH=BA=22,从而求出OH的长度,即点E的纵坐标,根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数,从而得出∠CBO的度数,然后根据Rt△HBE得出HE的长度,即点E的横坐标.

试题解析:(1)∵点A为(6,0),点B为(0,-2) ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt△AOB的勾股定理可得:AB=22∴eM的半径r=

1AB=2. 2(2)根据同弧所对的圆周角相等可得:∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD平分∠ABO

(3)如图,由(2)中的角平分线可得△ABE≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22-

2=2

在Rt△AOB中,

OA?3∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° OB在Rt△HBE中,HE=BH2626∴点E的坐标为(,2) ?333

考点:勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.

14.如图,BD为△ABC外接圆⊙O的直径,且∠BAE=∠C. (1)求证:AE与⊙O相切于点A;

(2)若AE∥BC,BC=23,AC=2,求AD的长.