∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=

1AB=2，∴OG=OA+AG=3． 2∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG==42?22 =23，∴点C的坐标为（3，23）．

AC2?AG2 过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1．∵点C的坐标为（3，23），∴CD=3，OD=23．

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°． ∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2=42?32=7．

∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=7，∴P1（0，23+7），P2（0，23﹣7）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=

2 得：当AEAE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．∵∠APB为锐角，∴sin∠APB随∠APB增大而增大，．

连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP． ∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°，∴四边形OPEH是矩形，∴OP=EH，PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=

22，∴m的取值范围是0?m?． 33

点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．

10．如图1，四边形ABCD为⊙O内接四边形，连接AC、CO、BO，点C为弧BD的中点． （1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO；

（2）如图2，点E在OC上，连接EB，延长CO交AB于点F，若∠DAB=∠OBA+∠EBA．求证：EF=EB；

（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7． 【解析】

试题分析：（1）如图1中，连接OA，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，由点C是

? 中点，推出CD??CB? ，推出∠BAC=∠DAC，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO； BD（2）想办法证明∠EFB=∠EBF即可；

（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．首先证明△EFB是等边三角形，再证明△ACK≌△ACT，Rt△DKC≌Rt△BTC，延长即可解决问题； 试题解析：（1）如图1中，连接OA， ∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，

∵OA=OB，∴∠2=∠ABO，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，

uuuruuuruuur∵点C是BD中点，∴CD?CB，∴∠BAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠ACO+∠ABO．

（2）如图2中，

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB，∠COB=2∠BAC，∴∠BAD=∠BOC， ∵∠DAB=∠OBA+∠EBA，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA， ∴∠EFB=∠EBF，∴EF=EB．

（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．

∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°， ∵∠EFB=∠EBF，∴∠G=∠HOF，

∵∠HOF=∠EOG，∴∠G=∠EOG，∴EG=EO， ∵OH⊥AB，∴AB=2HB，

∵OE+EB=AB，∴GE+EB=2HB，∴GB=2HB，

HB1? ，∴∠GBA=60°， GB2∴△EFB是等边三角形，设HF=a， ∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a，

∴cos∠GBA=

∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=∵NE=

13， 2131317﹣a，OB=OC=OE+EC=﹣a+2=﹣a， 2221113EF=a+， 22413113133﹣a）﹣（a+）=﹣a， 22442∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2，

∴ON=OE=EN=（∴（

1713313113﹣a）2﹣（﹣a）2=（a+）2﹣（a+）2， 2422243或﹣10（舍弃）， 2∴OE=5，EB=8，OB=7，

解得a=

∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC，AC=AC，∴△ACK≌△ACT，∴CK=CT，AK=AT，

uuuruuur∵CD?CB，∴DC=BC，∴Rt△DKC≌Rt△BTC，∴DK=BT，

∵FT=

1FC=5，∴DK=TB=FB﹣FT=3，∴AK=AT=AB﹣TB=10，∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7． 2

11．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作?AC、

?、BA?，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对CB称图形，设点l为对称轴的交点．

（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端

点N重合，则线段MN的长为 ；

（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；

（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为 （请用含n的式子表示）

【答案】（1）3π；（2）27π；（3）23nπ． 【解析】

试题分析：（1）先求出?AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；

（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．

试题解析：解：（1）∵等边△ABC的边长为3，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

60??3???l?ll∴===π，∴线段MN的长为，???AC?BC?ABABACBC180l??lBC=3π．故答案为3π； ??l?ACAB（2）如图1．∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3，∴S矩形AGHF=2π×3=6π，

120??32=3π，∴图形在运动过由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG=120°，∴S扇形BAG=

360程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；

（3）如图2，连接BI并延长交AC于D．∵I是△ABC的重心也是内心，∴∠DAI=30°，

13AD=AC=，∴OI=AI=

223AD=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I

?2cos?DAIcos30?所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，∴当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n?2π?3=23nπ．故答案为23nπ．