中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题及答案 下载本文

∵点C为圆心,CG⊥AB,∴AG=BG=

1AB=2,∴OG=OA+AG=3. 2∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC=AB=4,∴CG==42?22 =23,∴点C的坐标为(3,23).

AC2?AG2 过点C作CD⊥y轴,垂足为D,连接CP2,如图1.∵点C的坐标为(3,23),∴CD=3,OD=23.

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点,∴∠AP1B=∠AP2B=30°. ∵CP2=CA=4,CD=3,∴DP2=42?32=7.

∵点C为圆心,CD⊥P1P2,∴P1D=P2D=7,∴P1(0,23+7),P2(0,23﹣7).

(3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时,∠APB最大.

理由:可证:∠APB=∠AEH,当∠APB最大时,∠AEH最大.由sin∠AEH=

2 得:当AEAE最小即PE最小时,∠AEH最大.所以当圆与y轴相切时,∠APB最大.∵∠APB为锐角,∴sin∠APB随∠APB增大而增大,.

连接EA,作EH⊥x轴,垂足为H,如图2.∵⊙E与y轴相切于点P,∴PE⊥OP. ∵EH⊥AB,OP⊥OH,∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°,∴四边形OPEH是矩形,∴OP=EH,PE=OH=3,∴EA=3.sin∠APB=sin∠AEH=

22,∴m的取值范围是0?m?. 33

点睛:本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质,切线的性质、三角形外角性质等知识,综合性强.同时也考查了创造性思维,有一定的难度.构造辅助圆是解决本题关键.

10.如图1,四边形ABCD为⊙O内接四边形,连接AC、CO、BO,点C为弧BD的中点. (1)求证:∠DAC=∠ACO+∠ABO;

(2)如图2,点E在OC上,连接EB,延长CO交AB于点F,若∠DAB=∠OBA+∠EBA.求证:EF=EB;

(3)在(2)的条件下,如图3,若OE+EB=AB,CE=2,AB=13,求AD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AD=7. 【解析】

试题分析:(1)如图1中,连接OA,只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,由点C是

? 中点,推出CD??CB? ,推出∠BAC=∠DAC,即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO; BD(2)想办法证明∠EFB=∠EBF即可;

(3)如图3中,过点O作OH⊥AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于G,作BN⊥CF于N,作CK⊥AD于K,连接OA.作CT∠⊥AB于T.首先证明△EFB是等边三角形,再证明△ACK≌△ACT,Rt△DKC≌Rt△BTC,延长即可解决问题; 试题解析:(1)如图1中,连接OA, ∵OA=OC,∴∠1=∠ACO,

∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,

uuuruuuruuur∵点C是BD中点,∴CD?CB,∴∠BAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠ACO+∠ABO.

(2)如图2中,

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴∠BAD=∠BOC, ∵∠DAB=∠OBA+∠EBA,∴∠BOC=∠OBA+∠EBA, ∴∠EFB=∠EBF,∴EF=EB.

(3)如图3中,过点O作OH⊥AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于G,作BN⊥CF于N,作CK⊥AD于K,连接OA.作CT∠⊥AB于T.

∵∠EBA+∠G=90°,∠CFB+∠HOF=90°, ∵∠EFB=∠EBF,∴∠G=∠HOF,

∵∠HOF=∠EOG,∴∠G=∠EOG,∴EG=EO, ∵OH⊥AB,∴AB=2HB,

∵OE+EB=AB,∴GE+EB=2HB,∴GB=2HB,

HB1? ,∴∠GBA=60°, GB2∴△EFB是等边三角形,设HF=a, ∵∠FOH=30°,∴OF=2FH=2a,

∴cos∠GBA=

∵AB=13,∴EF=EB=FB=FH+BH=a+∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=∵NE=

13, 2131317﹣a,OB=OC=OE+EC=﹣a+2=﹣a, 2221113EF=a+, 22413113133﹣a)﹣(a+)=﹣a, 22442∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2,

∴ON=OE=EN=(∴(

1713313113﹣a)2﹣(﹣a)2=(a+)2﹣(a+)2, 2422243或﹣10(舍弃), 2∴OE=5,EB=8,OB=7,

解得a=

∵∠K=∠ATC=90°,∠KAC=∠TAC,AC=AC,∴△ACK≌△ACT,∴CK=CT,AK=AT,

uuuruuur∵CD?CB,∴DC=BC,∴Rt△DKC≌Rt△BTC,∴DK=BT,

∵FT=

1FC=5,∴DK=TB=FB﹣FT=3,∴AK=AT=AB﹣TB=10,∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7. 2

11.如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心,BA长为半径作?AC、

?、BA?,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对CB称图形,设点l为对称轴的交点.

(1)如图2,将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动,当它滚动一周后点A与端

点N重合,则线段MN的长为 ;

(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合,且AB⊥DE,DE=2π,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时,求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积;

(3)如图4,将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合,⊙O的半径为3,将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动,当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为 (请用含n的式子表示)

【答案】(1)3π;(2)27π;(3)23nπ. 【解析】

试题分析:(1)先求出?AC的弧长,继而得出莱洛三角形的周长为3π,即可得出结论; (2)先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示,利用矩形的面积和扇形的面积之和即可;

(3)先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径,再用圆的周长公式即可得出.

试题解析:解:(1)∵等边△ABC的边长为3,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,

60??3???l?ll∴===π,∴线段MN的长为,???AC?BC?ABABACBC180l??lBC=3π.故答案为3π; ??l?ACAB(2)如图1.∵等边△DEF的边长为2π,等边△ABC的边长为3,∴S矩形AGHF=2π×3=6π,

120??32=3π,∴图形在运动过由题意知,AB⊥DE,AG⊥AF,∴∠BAG=120°,∴S扇形BAG=

360程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6π+3π)=27π;

(3)如图2,连接BI并延长交AC于D.∵I是△ABC的重心也是内心,∴∠DAI=30°,

13AD=AC=,∴OI=AI=

223AD=3,∴当它第1次回到起始位置时,点I

?2cos?DAIcos30?所经过的路径是以O为圆心,OI为半径的圆周,∴当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为n?2π?3=23nπ.故答案为23nπ.