【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA?【解析】

3 5分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.

（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.

详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD ∵BD＝BA，OA＝OD ∴BF为线段AD的垂直平分线 ∵AC为⊙O的直径 ∴∠ADC＝90° ∵BE⊥DC

∴四边形BEDF为矩形 ∴∠EBF＝90° ∴BE是⊙O的切线

(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点 ∴OF＝

13CD＝ 2235? 22∵BF＝DE＝1＋3＝4 ∴OB＝OD＝4?3OF23?? ∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝

OD552点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理

和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.

5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA， 交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B． （1）求证：DA是⊙O切线； （2）求证：△CED∽△ACD； （3）若OA=1，sinD=

1，求AE的长． 3

【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】

分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线； （2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；

（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE?AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．

详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°． ∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB． ∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线； （2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B． ∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B． ∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE． ∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD； （3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD= ∵AD=OD2?OA2=22．

1OA=3，∴CD=OD﹣OC=2． ，∴OD=

3sinDADCDCD2? 又∵△CED∽△ACD，∴=2， ，∴DE=CDDEAD∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．

点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．

6．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．

（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；

（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；

（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1 【解析】

分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；

（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3； （3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论． 详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾

2=4，∴∠ABO=30°股定理得：AB=22?． （23） ∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．

∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°． 故答案为：60°； （2）如图2．

∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．

过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=

﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．

∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1． ∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．

∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1． ∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．

点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．