中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题及答案
一、圆的综合
1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°． （1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）． 【解析】 【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系． （3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解． 【详解】
（1）∵OA=OC，∠OAC=60°， ∴△OAC是等边三角形， 故∠AOC=60°．
（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°， 2而OC是⊙O的半径，
故PC与⊙O的位置关系是相切． （3）如图；有三种情况：
∴AC=
①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）； 劣弧MA的长为：
60??44??； 1803②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）； 劣弧MA的长为：
120??48??； 1803③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）； 优弧MA的长为：
240??416??； 1803300??420??； 18034?8?16?20?,,,对应的M点坐3333④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）； 优弧MA的长为：
综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为
标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）． 【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)． （1）当G(4，8)时，则∠FGE= °
（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．
【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线． 【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE=\．
（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线． 试题解析：（1）连接FE， ∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)， ∴根据勾股定理，得FG=∵
，EG=，即
，FE=10．
．
∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．
（2）作图如下：
P（7，7），PH是分割线．
考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．
3．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长
线交于点A，∠AEO?∠C，OE交BC于点F. （1）求证：OE∥BD；
（2）当⊙O的半径为5，sin?DBA?2时，求EF的长. 5
【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为【解析】
21 2试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ， ? ?CBD??CBO??OBD?90?. ∵AE是⊙O的切线，? ?ABO??ABD??OBD?90?. ? ?ABD??CBO. ∵OB、OC是⊙O的半径，?OB=OC. ∴?C??CBO. ∴?C??ABD. ∵?E??C，∴?E??ABD. ∴ OE∥BD. （2）由（1）可得sin∠C= ∠DBA=
2BD2?,OC=5， ，在Rt△OBE中, sin∠C =
5CD5BD?4∴?CBD??EBO?90?
∵?E??C，?△CBD∽△EBO.
∴
BDCD? BOEO25. 2∴EO?∵OE∥BD，CO=OD， ∴CF=FB. ∴OF?1BD?2. 221 2∴EF?OE?OF?
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E (1) 求证：BE是⊙O的切线 (2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA