设点C到平面PAD的距离为h，由VP?ACD?VC?APD得：S?PAD?h?131S?CAD?PO 36ah263a，所以QD与平面PAD所成角的正弦值???进而得h?

3DQ33a

解法三：如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系。 不妨设|OB|=1，则B(1,0,0)，C(0,1,0)， D(-1,0,0)，A(0,-1,0) 因为Q?PCB为正四面体，所以?PCB为正

Z||BC?|三角形，所以|PC?，因此P(0,0,1)。 |OP?|12所以，

设?PCB的重心为M，则QM?面PCB，又因此OM?面PCB，O?PCB也为正三棱锥，

因此O、M、Q三点共线，所以OQ垂直面PCB，即OQ是平面PCB的一个法向量，

yOx由PB?(1,0,?1)，PC?(0,?1,1)易得平面PCB的一个法向量可以取n1?(a,a,a)，所以不妨设Q(a,a,a)，则PQ?(a,a,a?1)，因为|PQ|?以Q(1,1,1)。

（1）PC?(0,?1,1)，DQ?(2,1,1)，PC?DQ?0，所以PC?DQ；

（2）设面PAD的一个法向量为n2?(x,y,z)，PD?(?1,0,?1)，PA?(0,?1,?1)，由

a2?a2?(a?1)2?2解得a=1，所

??n2?PD?0解得一个法向量n2?(?1,?1,1)， ???n2?PA?0所以cos?n2,QD??n2?DQ?22???，

3|n2||DQ|322。 3所以QD与平面PAD所成角的正弦值为

21 解：（1）焦点F???p?1p?2?2，且p?0，解得p?2， ,0?，由已知得2?22故所求抛物线的方程为y?4x.

（2）设直线AB的方程为：x?m1y?1，

直线CD的方程为：x?m2y?1，

y3y2y4y12令A(,y1),B(,y2),C(,y3),D(,y4),

4444将两条直线的方程代入抛物线方程得：

222y2?4m1y?4?0,

于是有：y1?y2?4m1 ，y1y2??4 同理得：y3?y4?4m2 ，y3y4??4

yy124?44?4),C(3,y3),D(2,) 故A(,y1),B(2,4y1y14y3y3 kAC?2?y1y344?，同理kBD?

?4?4y1?y3y1?y3?y1y3y124所以直线AC的方程为：y?y1?(x?)， ①

y1?y34直线BD的方程为：y??4?y1y34?(x?2)， ② y1y1?y3y14?y1y3y124将x?1代入①式得：yM?y1? (1?)?y1?y34y1?y3将x?1代入②式得：yN?4?y1y3?4?y1y34 ?(1?2)??y1y1?y3y1y1?y3所以yM??yN，即MF?NF

22．解：（1）f??x??2ex??x??a?2?x?2a???x2?ax?a?2?ex?x?a??x?2??x2?ax?a?2

ex?x?2?ex当a?0时，f?x??2，f??x??，故f?x?在区间???,0?，?2,???上单调3xx递增，在?0,2?上单调递减；

当a?4时，f?x??ex?x?2?2，f??x??ex?x?4??x?2?3，故f?x?在区间???,2?，?4,???上

单调递增，在?2,4?上单调递减； 当0?a?4时，恒有x?ax?a?0，

当0?a?2时，f?x?在???,a?，?2,???上单调递增，在?a,2?上单调递减； 当a?2时，f?x?在区间???,???上单调递增

当2?a?4时，f?x?在???,2?，?a,???上单调递增，在?2,a?上单调递减； （2）tf?x??xf?t??f?x??f?t???t?1?f?x???x?1?f?t??2f?x?f?t?? x?1t?1f?x?ex解法一：设函数g?x??，即g?x??g?t?在?1,t?上恒成立。即g?t?为?x?1x2?x?1?g?x?的最小值。g??x??ex?x2?4x?2?x?x?1?32。

故g?x?在区间1,2?2上单调递减，在区间2?2,??单调递增。 故t?2?2，tmax?2?2 解法二：????f?x?f?t??即?x,f?x??与点?1,0?连线斜率的最小值在x?t时取到。设tmax?t x?1t?1f?t?et?t?2?et2?f??t?，即2?t?4t?2?0?t?2?2， ?则3t?1t?t?1?t又t?1，故t?2?2