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（3）

故 ei????k(x?a)??f(x?a?ia)??f[x?(i?1)a]??f(x?ma)??i???m???ika???k(x)

?1 k?0

??

k?k(x)?ei0a? ?f(x?ia) ??ei0xuk(x)?i??????

?(x)??f(x?ia)故的波矢为0。

要说明的是，上述所确定的波矢k并不是唯一的，这些k值加上任一倒格矢都是所需的解。因为k空间中相差任一倒格矢的两个k值所描述的状态是一样的。

8.已知电子在周期场中的势能为

i???1??U(x)?m?2[b2?(x?na)2]，当na?b?x?na?b时?2??U(x)?0，当(n?1)a?b?x?na?b时

其中：a?4b，?为常数。

（1）画出势能曲线，并求出其平均值；

（2）用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。

解：（1）该周期场的势能曲线如下所示： 其势能平均值为：

??bbU????U(x)dx??????3b?U(x)dxb?3b??b?2m?12(b2?x2)dx4b?

（2）根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为

?E?2U ?E?2U

其中U和U表示周期场U(x)的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。 于是有

112212?dx?dx1m?2b26U1??i2???i2??1114m?2b2e4bU(?)d??e4bm?2(b2??2)d????4b?3b4b?b2?3b2b2b1b1

?i2???i2??111m?2b2U2?e4bU(?)d??e4bm?2(b2??2)d????4b?3b4b?b22?2故此晶体的第1及第2个禁带宽度为

?

９．求出长为L的一维金属中自由电子的能态密度？ [解 答]

一维情况下自由电子的色散关系为：

?32

?E1?2U1?8m?2b2?E2?2U2?m?2b2

由此得：

.

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则：

对应同一个dE，在±K方向各有一个dE，因此K空间中E与E十dE之间的K区间为：

在该范围内的状态数为：

其中L是晶格长度。于是，态密度

１０.已知一维晶体的电子能带可写成：

E(k)??271(?coska?cos2ka)8ma28。

式中a是晶格常数。试求

（1）能带的宽度；

（2）电子在波矢k的状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。

解：（1）在能带底k?0处，电子能量为 E(0)?0

在能带顶

k??a处，电子能量为

??2?2E()? ama22?2?E?E()?E(0)?ama2故能带宽度为

（2）电子在波矢k的状态时的速度为

（3）电子的有效质量为

m*??2/v(k)?1dE?1?(sinka?sin2ka)?dkma4

m1coska?cos2ka2 *m?于是有在能带底部电子的有效质量为12m

d2E?dk22*m2??m3 在能带顶部电子的有效质量为

.