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规律形式上遵守牛顿方程，只是把m用m???。??代替。
?＝m·F外 在此基础，求解晶体中的电流等问题。 ７６.BLoch电子的运动速度如何表示？
??1解：? n ( K)=?E n (K) 式中下标n为能带指数，即BLoch电子的运动速度和K空
????。???1???间能量梯度成正比，方向在等能面法线方向。当等能面为球形时电子的运动速度与波矢的方向相同，当等能面不是球形时电子的运动速度与波矢的方向一般不相同。 ７７.什么是BLoch电子的准动量，为什么称之为“准”动量？
解：?K称为BLoch电子的准动量，因为F外＝?K， 而?K为自由电子的动量，又与牛顿定律F＝P比较，形式类似，?K具有动量的量纲，但牛顿定律F＝P中的F为物体受到的合外力。而BLoch电子还受到晶格场力Fl的作用并未反映在?K中，所以，?K并未完全表示BLoch电子的动量。所以称?K为BLoch电子的准动量。
另外，可证明，?K不是BLoch电子动量算符的本征值，故它不是真实动量，且
???H??0(二算符不对易)，故Bloch电子没有确定的动量。
、P?????????????????????????７８.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。
解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。
准经典运动的基本公式有：
晶体电子的准动量为 p??k；
1v??kE(k)?晶体电子的速度为 ；
?dkdt
晶体电子受到的外力为
F?11?2E(k)?2*晶体电子的倒有效质量张量为 m????k??k?；
在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足：
dke??(Ε?v?B) dt?
dve??(Ε?v?B) dtm*
７９.简述BLoch电子的有效质量的重要特征。 解：m
???
为二阶张量，矩阵表示有九个分量，其值与波矢K、能带结构有关。
????当等能面为球面时 m才为标量m?。 m?＝?2d2Edk2? 与能带结构K有关。
引入有效质量m
???????
后 ?＝m???????1?????F外与牛顿定律Fm＝?形式上一致，把不易测量的
－1
????Fl并入m中，而m又可由能带结构求出。一般情况下m??mxx?m?yy?mzz,则使得BLoch电子的加速度与外力方向不一致。
８０.什么是BLoch电子费米气？
???中的其中三个分量
.
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解：把质量视为有效质量m，除碰撞外相互间无互作用，遵守费米分布的BLoch电子的集合称为BLoch电子费米气。它与索未菲模型的自由电子费米气的区别在于把晶格场力的影响归入m，但又保留了碰撞模型。
８１.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？
解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。
当满带顶附近有空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷q和具有正质量m、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。 ８２.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。
解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。
在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。
在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。 ８３.半导体和半金属有何异同？
解：相同处：T?0时，从电导率上讲无差别，不同处：从能带结构上讲 半金属(ex: Bi)与金属类似，T＝0时，导带几乎全空，价带几乎全满。半导体与绝缘体类似，T＝0时，导带全空，价带全满，仅为禁带Eg小些而已。 ８４.晶体电阻的起因是什么？
解：广义缺陷与BLoch电子的相互作用，即声子、杂质、缺陷对载流子的散射。 六、计算及证明题
*?????
AB??101.设某晶体每对原子的势能具r9r的形式，平衡时r0?2.8?10m，结合能为U?8?10?19J，试计算A和B
以及晶体的有效弹性模量。
解：由题意有以下方程成立：
?AB???U??r09r0?du9AB?()r0??10?2?0?r0r0?dr把r0，U的具体数值代入上述方程组，即得：
AB????8?10?19?109??(2.8?10)2.8?10?10?9AB????0?1010?(2.8?10)(2.8?10?10)2?
由此可得：A?1.0578?10?105J?m9，B?2.52?10?28J?m
该晶体的有效弹性模量为：
K?V0(3 V?Nv?N?r
d2u)VdV20
又∵
（上式中N表示晶体中所含的原子个数，?表示与晶体结构有关的因子） 故
K?1d2u(2)r09?Nr0dr1?3.2797?10190A2B(11?3)＝9?N＝
9?Nr0r0r011
.
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2.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
解：我们知体心立方格子的基矢为：
a??a1?2(?i?j?k)?a??a2?(i?j?k)2??a3?a(i?j?k)?2?
根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：
2?[a2?a3]2???(j?k)?b1??a?2?[a3?a1]2???(i?k)?b2??a??b?2?[a1?a2]?2?(i?j)3??a?
由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子
为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
3.已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为 。
式中?是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N。
解：由题意可知该晶格的振动模总数为
?m?m?m?(?)?2N2(?m??2)?12N???(?)d???0022N(?m??2)?12?d?
4.设某离子晶体离子间的相互作用势能为
0?2N?arcsin??m?m
?2N?(?0)?N?2
。
式中B为待定常数；r为近邻原子间距。求该晶体的线膨胀系数。已知近邻原子的平均距离为3
-10
×10m。
解：由平衡条件
e2u(r)??e24??0r?Br2du(r)?0drr0，可得
4??0r02?e2r02B?0B?r03 由此可得8??0于是可求得 ，
那么线膨胀系数为
C?1d2u(r)e2()?r2!dr208??0r03g??1d3u(r)e2()?r3!dr304??0r04
??1d?3gkB12??0kBr0??r0dT4C2r0e212?3.14?8.854?10?12?1.381?10?23?3?10?10?(1.6?10?19)2
?5.4?10K
?5-1
5.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a?3.5?10eV表示）
解：由题意可求得金属锂的电子浓度为
n??10m。试计算绝对零度时电子气的费米能量EF（以
0
故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为
0EF?22??4.66?102833a(3.5?10?10)3 /m
2?2(3n?2)32m
.
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(1.055?10?34)2?(3?4.66?1028?3.142)3?312?9.11?10
?19?7.57?10?4.72 JeV
?26.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV和1.8eV。求：
（1）采用里查孙－杜师曼公式分别估算银及铯在室温下的热电子发射电流密度； （2）若温度上升至800K时，其热电子发射电流密度为多少？
（3）若把银与铯两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。
解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为 j?ATe ?1.2?10?298e2 ?8.36?10 A/m 在室温下铯的热电子发射电流密度为 j?ATe ?1.6?10?298e2
?5.47?10 A/m
（2）在800K时银的热电子发射电流密度为 j?ATe ?1.2?10?800e2
?4.72?10 A/m
在室温下铯的热电子发射电流密度为 j?ATe
e ?1.6?10?800 2
?4.80 A/m
（3）若把银与铯两种金属接触在一起，它们的接触电势差为
2?WAg/(kBT)Ag62?4.8?1.6?10?19/(1.38?10?23?298)?71Cs2?WCs/(kBT)62?1.8?1.6?10?19/(1.38?10?23?298)?202?WAg/(kBT)Ag62?4.8?1.6?10?19/(1.38?10?23?800)?19Cs2?WCs/(kBT)62?1.8?1.6?10?19/(1.38?10?23?800)1VD?(WAg?WCs)?3e V
7.一维周期场中电子的波函数?（1）
?k(x)?sin?axk(x)应当满足布洛赫定理。若晶格常数为a，电子的波函数为
；
3??k(x)?icosxa； （2）
?f(x?ia)（3）（其中f为某个确定的函数）。 试求电子在这些状态的波矢。
解：布洛赫函数可写成?(x)?eu(x)，其中，u(x?a)?u(x)或写成??k(x)?i???ikxkk?kkk(x?a)?eika?k(x)
（1）
?k(x?a)?sinx?ax???sin????k(x)aa
ika故 e?k(x)?eixa??1
?k??a
??iax??ixsinx??eauk(x)?ea?? u(x?a)?u(x)k显然有 k
??故
?k(x)?sin?ax?的波矢是a。
3(x?a)3x???icos????k(x)aa
ika（2）
?k(x?a)?icos所以 e?k(x)?eixa??1
?k??a
ix??iax3x?a?eicos???euk(x)a?? u(x?a)?u(x)k显然有 k
??故
?k(x)?icos3??xa的波矢a。
.