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子能量表示。并不是体现在引入格波、格波用谐振子等效及q不连续等方面。 ３１.声子有哪些性质？

解：(1)声子是量子谐振子的能量量子；

(2) 3NS格波与3NS个量子谐振振子一一对应； (1) 声子为玻色子；

(2) 平衡态时声子是非定域的；

(3) 声子是准粒子 遵循能量守恒 ??1???2???3

准动量选择定则 ?q1??q2??(q3?Gh) (4) 非热平衡态，声子扩散伴随着热量传导； (5) 平均声子数

３２．晶体中声子数目是否守恒？

频率为叫ωi的格波的(平均)声子数为

?

即每一个格波的声子数都与温度有关，因此，晶体中声子数目不守 恒，它随温度的改变而改变。

３３．绝对零度时，价电子与晶格是否交换能量?

晶格的振动形成格被．价电子与晶格交换能量．实际是价电子与格波交换能量．格波的能量子称为声子，价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量．频率为ωi的格波的声子数

从上式可以看出．绝对零度时，任何频率的格波的声子全都消失．出此，绝对零度时，价电子与晶格不再交换能量．

３４．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?

答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.

３５．试举一例说明固体物理中处理晶体内微观粒子（原子或电子）运动态问题的基本过程。 答：以求解金属晶体中自由电子的运动状态为例，基本的处理过程如下： （1）建模（索末菲模型）。

结构模型：金属晶体由不动的离子实（包括原子核和核外封闭壳层内的电子）构成三维周期性骨架，封闭壳层外的电子（价电子）在骨架中自由运动，成为自由电子。

势场模型：自由电子在金属晶体中处于恒定的势场，晶体表面存在一无穷大的势垒。

（2）建立运动方程（简化的定态薛定谔方程）

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描述自由电子在金属晶体运动状态的态函数满足：

（3）假定自由电子运动的边界条件（周期性边界条件，即玻思—卡曼边界条件）

假设在有限晶体之外有无穷多个和这个有限晶体完全相同的假想晶体与之毫无缝隙地衔接在一起，组成一个无限的晶体，自由电子即处于这样的假想晶体中运动。

（4）求解

在上述边界条件下解薛定谔方程，得：

（5）对解的讨论（金属晶体中自由电子的运动状态的特点） 由波函数模的平方

上式说明，电子在金属中各处出现的几率一样，形象地讲即指电子是在金属中很自由的，是自由电子。

３６.晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？

解：我们知道晶体比热容的一般公式为

由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数?(?)。但是对于具体的晶体来讲，?(?)的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出?(?)的表达式。

爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容c亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容c以指数形式趋近于零，快于实验给出的以T趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度?应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度?是不同的。

在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。

0VVcV?(?E)V??T?m?kB(??2e??/(kBT)?(?)d?)kBT(e??/(kBT)?1)233DD.

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３７.声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？

解：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式

?q??q??q??G

其中上式中的G表示一倒格子矢量。

对于G?0的情况，即有?q??q??q，在碰撞过程中声子的动量没有发生变化，这种情况称为正规过程，或N过程，N过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于G?0的情况，称为翻转过程或U过程，其物理图像可由下图3.2来描述：

123nn

n123nq2q1q1+q2q1+q2+Gn在上图3.2中，q1?q2是向“右”的，碰撞后q3是向“左”的，从而破坏了热流的方向，所以U过程对热阻是有贡献的。U过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。

３８.从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近M和m?M时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。

解：一维双原子晶格的色散关系为

2???( ?M??m)?(?M??m)2?4?sin2qaMm

??由此可做出如下图的一维双原子链振动的色散关系曲线图 一维双原子链振动的色散关系曲线 由上图可以看出，当m逐渐接近M时，在第一布里渊区边界，即

2?M q???2a处，声学波的频率开

q???2a始增大，而光学波的频率则开始减小，而当m?M时，则声学波的频率和光学波的频率在相等，都等于

。

?2?处

而在一维单原子链中，其色散关系为

4?qasin2M2，由此可见，在一维单原子链中只存在一支

.

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格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，在其布里渊区边

a处，其格波频率为界，即，是双原子链的格波在布里渊边界的频率值的2倍。

３９.有人定性地认为，德拜温度?D是经典概念与量子概念解释比热的分界线，你的看法如 何？ 解：德拜频率 ?D── g(?)的最高频率；

爱因斯坦频率 ?E────g( ?)中最可几频率；

德拜温度?D与德拜频率?D相对应。?D成为经典概念与量子概念解释比热的分界线，是因为经典理论认为：谐振子能量按自由度均分──即认为所有波格均激发，而当T??D时，出现格波冻结，按经典理论处理造成较大的误差，而当T＞?D时，不出现格波冻结，按经典理论处理造成的误差也就相对较小了。

４０.热膨胀系数?v是如何表示的？

Mq?????2?解： ?v=

?KVCv 式中 ?：格林爱森系数； K：体弹性模量；

V：晶体体积 ； Cv：晶体的热容 ４１.热传导系数（热导率）?是如何表示的？

解： ?=CvvL 式中：Cv:单位体积热容 ； v :声子平均速率；L：声子平均自由程。

４２.什幺叫N过程和U过程？

以三声子过程为例： ??1???2???3 ?q1??q2??(q3?Gh) Gh=0──N过程 Gh?0──U过程 ４３.为什幺说光学支一般对热导贡献小？

解：因为：(1)温度不太高时(T??D)光学支先冻结，对Cv贡献小

（2）光学支v小，v的物理意义是声子运动的平均速率，而声子的运动携带着能量的传播，因此v的意义应与能量传播的速度相对应，能速vg=

??????13d?, 光学支色散曲线?～q平坦，vg较小，dq即v较小。

（3）光学支?小的?q?大，易于发生U过程，而U过程将造成热阻。

４４.有人说，热容Cv是声子密度的度量，你的看法如何？

解：由热膨胀系数?v.热导率?的表示式可知 ?v ? cv 、 ? ? cv，而由?v、?的物理意义可知，?v、?均应与声子密度相关，考察?v、?的表示式，只有认为Cv表示声子的密度，所以在相同温度下，认为热容Cv是晶体中声子密度的度量是可以的。 ４５.为什幺说“晶格振动”理论是半经典理论？

解：首先只能求解牛顿方程，并引入了格波，而且每个格波的能量可用谐振子能量来表示。之后进行了量子力学修正，量子力学修正体现在谐振子能量不用经典谐振子能量表示式，而用量子谐振子能量表示式。

４６．简述晶格振动理论中简谐近似的成功之处和局限性。

解：成功得出格波（声学格波、光学格波）及其相应的色散曲线，引入了声子，并成功地解释了热容。其局限性主要表现为不能解释热膨胀、热传导等现象。

４７. 什么是声子的准动量？为什么称它们是“准”动量，而不直接称为动量？

解：声子是准粒子，?q1是声子的准动量。 准动量?q1具有动量的量纲，但声子间相互作用满足准动量选择定则?q1??q2??(q3?Gh) 其中Gh是晶体的任意倒格矢。 ４８.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？

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