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微型专题3 卫星变轨问题和双星问题

[学习目标] 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度．

一、人造卫星的发射、变轨与对接 1．发射问题

要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v＞v1＝7.9 km/s，人造卫星做

Mmv2

离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F向，即G2＝m，从而使卫星进入预

rr定轨道．

2．卫星的变轨问题

卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化．

v2

(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将做近心运动，向

r低轨道变迁．

v2

(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运

r动，向高轨道变迁．

以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据． 3．飞船对接问题

(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图1甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．

图1

(2)同一轨道飞船与空间站对接

如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．

例1 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )

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图2

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期

C．卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度 答案 B

解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：

Mmv2

G2＝m，v＝rrGM r因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误； 由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确；

在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速， 所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误； 在同一点P，由错误．

【考点】卫星、飞船的对接和变轨问题 【题点】卫星、飞船的对接和变轨问题

判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：

(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．

(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．

(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．

(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G2判断．

针对训练1 2017年6月19日，我国在西昌卫星发射中心发射“中星9A”广播电视直播卫星，按预定计划，“中星9A”应该首先被送入近地点约为200公里，远地点约为3.6万公里的转移轨道Ⅱ(椭圆)，然后通过在远地点变轨，进入最终同步轨道Ⅲ(圆形)．但是由于火箭故障，卫星实际入轨后初始轨道Ⅰ远地点只有1.6万公里．科技人员没有放弃，通过精心操作，利用卫星自带燃料在近地点点火，尽量抬高远地点的高度，经过10次轨道调整，终于在7月5日成功定点于预定轨道，如图3所示．下列说法正确的是( )

GMm＝ma知，卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，D项r2

FmMr精品

图3

A．“中星9A”发射失利原因可能是发射速度没有达到7.9 km/s B．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时速度相同 C．卫星在轨道Ⅱ经过Q点的加速度大于它经过P点时的加速度 D．卫星从轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ后速度增加 答案 D

解析 “中星9A”已经成功发射至远地点1.6万公里的椭圆轨道上．其发射速度大于第一宇宙速度，A项错误；在Q点从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ要加速，所以vⅢ＞vⅡ，B项错误；由a＝2知aP＞aQ，C项错误；在P点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要加速，D项正确． 二、双星问题

1．如图4所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．

GMr

图4

2．双星问题的特点

(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度相同．

(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.

3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即

Gm1m222

2＝m1ωr1＝m2ωr2. L例2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图5所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.

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图5

Lm2Lm1

答案

m1＋m2m1＋m24πL

G?m1＋m2?

23

解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m1：对m2：

Gm1m22

2＝m1r1ω， LGm1m22

2＝m2r2ω，且r1＋r2＝L， LLm2Lm1

，r2＝. m1＋m2m1＋m2

解得r1＝

2

m1m24πLm2

由G2＝m1r12及r1＝得

LTm1＋m2

周期T＝

4πL.

G?m1＋m2?

23

【考点】双星问题 【题点】双星问题

针对训练2 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星的( ) A．质量之积 C．速率之和 答案 BC

解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

B．质量之和 D．各自的自转角速度

每秒转动12圈，角速度已知，

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

Gm1m22

2＝m1ωr1① lGm1m22

2＝m2ωr2② ll＝r1＋r2③

G?m1＋m2?ω2l32

由①②③式得＝ωl，所以m1＋m2＝，

l2G质量之和可以估算．