?Qk(V1??,VM,?1,?,?N?1)?0 (4-13b)

因此，对于一个具有N个节点的电力系统，其中M个PQ节点，N-M-1个PV节点，1个平衡节点，有方程如下：

?P1(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0??Q1(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0??P??V??????2M个PQ节点方程

M(V1,?,M,?1,?,?N?1)?0??QM(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0???PM?1(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0?????????N?M?1个PV节点方程?PN-1(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0??除了平衡节点外，N-1个节点中，有M个PQ节点的电压幅值和相角都是未知数，个PV节点的相角为未知数，因此共有2M+N-M-1=N+M-1个未知数，个方程。

在方程4-14中，可以把N-1个有功功率方程放在一起，M?P1(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0?????????N?1个有功功率方程?PN?1(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0???Q1(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0?????????M个无功功率方程 ?QM(V1,?,VM,?1,?,?N?1)?0??解上述方程组，就可以得到电力系统中各个节点的电压幅值和相角，个支路的潮流分布和损耗。

3. 小结

潮流计算是计算电力网各个支路的功率潮流分布和功率损耗，压损耗。首先要求电力网各个节点的电压相量。根据电网络理论，纳方程来求解，即已知电网络的节点导纳矩阵和各个节点的注入电流源的电流，纳方程。然而通常电力系统各个节点的注入电流是未知的，已知的是各个节点的注入功率，因此需要将节点电压方程转化为节点功率方程。

实际电力系统的节点注入功率并非都已知，有的已知注入有功功率为PQ节点；有的已知注入有功功率P和节点电压有效值V，称为电压V和相角d，称为平衡节点或V?节点。无论哪种类型节点，每一个节点均含有量P、Q、V、?（或e、f）已知的是其中的两个，故而可以利用节点功率方程（出另外两个参量。假设系统有N个节点，必然有2N个未知数，同样有（4-17中的实部和虚部各一个）。

实际上，我们求解的目标是电压，对于PV节点和V?节点来说，前者电压有效值已知，

(4-14)

N-M-12M+N-M-1=N+M-1 (4-15)

进而可以计算出各求解节点导P和无功功率Q称PV节点；有的已知节点4个参4-6）求解2N个节点功率方程个无功功率方程放在一起：

同时也计算各个支路的电节点电压通常采用节点导

后者电压相量已知，因此不存在2N个未知数，当然也不需要2N个方程。假设系统有N个节点，M个PQ节点，1个平衡节点，对于直角坐标表示的节点电压来说，有2(N-1)个未知数，2M+N-M-1个功率方程，只需要再补充N-M-1个电压方程就可以了；对于极坐标表示的电压来说，只有N-1个?未知数，M个V的未知数，因此只需要N+M-1个功率方程就足够了。

无论怎样，潮流计算是解决这样的一组非线性代数方程组：

F(X,C,U)?0 (4-16)

其中，X代表系统状态，包括电压U表示系统激励，即注入的功率。求解这样的多维非线性代数方程组，初值，然后不断迭代，逼近真实解。方法有：高斯耦法。

1．基本原理

为了方便理解这个有一维方程f(x)?0x?g(x) 那么给定一个初值x[k?1]?g(x[k]) 一直叠代到误差满足要求为止，即x[N]?x[N?1]??其中?为事先设定的允许误差。其计算流程如图

V和相角?；C代表参数，包括电导

需要利用计算机进行辅助迭代计算，-赛德尔迭代法，牛顿4-2 高斯－赛德尔叠代法

n维方程组的叠代求解方法，先从一元非线性方程的求解开始。

（4-17）

x[0]，代入就可以得到一个新值x[1]?g(x[0]) （4-18）

（4-19）

4-3所示。

图4-3 高斯迭代法的计算流程

G和电纳B；

即先给定一个-拉夫逊法和PQ解假设k次叠代的值为：

，高斯法的基本原理是，先将方程转化为： ，第

这个解方程的方法称为高斯叠代法。这个叠代求解的过程可以这样来理解：x?g(x)的

[0]?解可以认为是两个曲线y?x和y?g(x)的交点的横坐标x，首先给定一个初值x，

g(x[0])与斜线y?x的交点的横坐标即为叠代后的新解x[1]，g(x[1])与斜线y?x的交点

[2]的横坐标即为叠代后的新解x，如此围绕交点往复循环，不断地逼近方程的解，如图4-4

所示。

图4-4 高斯迭代法的几何解释

高斯迭代法可以推广到n维非线性代数方程组，假设n为方程组为：??f1(x1,x2?,xn)?0??f2(x1,x2?,xn)?0 ??????? （4-20） ??fn(x1,x2?,xn)?0首先将方程组4-20转化为：

??x1?g(x1,x2,?,xn)??x2?g(x1,x2,?,xn)??????? （4-21）

??xn?g(x1,x2,?,xn)给定一组初始值X[0]?[x[0][0][0]T1,x2,?,xn]，带入上式，得到一组新值不断叠代，循环往复，第k次叠代为：

X[k?1]?g(X[k]) （4-22）

其中第j个方程为

x[k?1][k][k][k]j?gj(x1,x2,?,xn) （4-23）

直到叠代前后的解的最大误差不超过允许的误差为止，即

max{x[N?1][N]jj?xj}?? （4-24）

为了提高高斯叠代法的收敛速度，赛德尔提出将已经叠代出的新值代替旧值参与叠代计算，如在第k次叠代中，第j个方程为

x[k?1]?g[k?1]k?1][k][k]jj(x1,?,x[j?1,xj,?,xn) （4-25）

X[1]?g(X[0])，

第1至j-1个元素已经叠代出k+1次的值，因此代替第k次的值参与第j个元素的叠代，就可以提高收敛速度。

2. 电力系统潮流计算的高斯－赛德尔迭代法

电力系统潮流计算需要求解节点功率方程，其中第m（m=1,2,…,N）个节点功率方程为：

NN??YV2?V?YV?Vm?YmlVlmmmmmll?PSm?jQSm (4-26)

l?1ll??1m如上式变换为x?g(x)的形式，可以得到如下的方程：

V?Nm?1PSm?jQSmY(??) mmVm?YmlVlll??1m根据高斯－赛德尔迭代法，首先给定电压相量的初值，对于PQ节点，不仅需要给定电压幅值的初值，还要给出相角的初值（设为零）。

假如第m号节点为PQ节点，第k次叠代公式为（第m个节点以前的节点第已经完毕，因此用k+1次的值取代k次的值，而在第m个节点以后的节点尚未进行第叠代）：

V?[k?1]1PSm?jQSmm?1Nm?Y([k]?mmV?YmlV?[k?1]l??Y[k]mlVl) ml?1l?m?1对于PV节点，给定的初值的电压幅值为给定的电压，相角初值设为零。可是对于节点来说，注入该节点的无功功率未知，因此第k次叠代时，首先按照下式计算注入点（假设第m个节点是PV节点）的无功功率：

m?1NQ[k]?Im[V[k]k]Sm?mI[Sm]?Im[V?[k]m(?YmlV[k?1]l??YmlV[k]l)] l?1l?m如果在叠代计算过程中，任意节点的电压和无功功率必须满足不等约束条件：V?V[k]mminm?Vmmax QQ[k]mmin?m?Qmmax

如果在叠代过程中，PQ节点的电压幅值超出允许的范围，则该节点的电压幅值就固定为允许电压的上限（如果超出上限）或下限（如果越过下限），PQ节点就变为进行叠代。同样，对于PV节点来说，如果在叠代过程中，无功功率Q则PV节点就变为PQ节点继续参与叠代。高斯－赛德尔叠代法的计算过程如下：（1）第一步：设置初始值，对于PQ节点，由于其电压相量的幅值和相角都未知，因此初始的电压相量的幅值可以设定为各个点的额定电压，相角选择为零；对于于其电压相量的幅值已知，因此幅值用已知的设定电压，初始相角设定为零。（2）第二步：对于PQ节点，直接将设定的初始值代入，用4-28求得下一次迭代的电压值，然后判断是否电压越限，如果越限，则用其限值（越过上限用上限值，越过下限则用

4-27） k次叠代k次4-28） PVPV节4-29）

PV节点继续

PV节点，由

（（（超出了允许的范围，