高中数学第四册排列组合讲义

1.A , B两队比篮球赛，每局不得成和局，规定A队胜三局为赢；A队胜三场前B胜二局算B队赢，试问此比赛之所有可能情形有 种？又其中A , B输赢如何？

2.有A , B , C , D , …等身高不等的8人排成一横列，欲使任一较矮者不夹排在二较高者之间之排法共有 种？

3.五种不同的颜色涂右图，相邻着异色，共有 种不同的涂法。 4.(a?b?c?d)(e?f?g)(x?y?z?u?v)的展开式中共有 项。 5.540之正因子共有 个，其一切正因子和为 ，乘积为 。

6.x | 36000，(x , 63)=3，25| x之自然数x共有 个。 7.不同的渡船3艘，每艘可载5人，今有7人同时过渡，有 种安全的渡法。 8.如右图，从A到B之走法中，不许走←方向的走法共有 种。 9.下列各街巷，从A走到B之快捷方式走法各有几？

(1) B (2) B

A A B

A

10. 如右图自A到B，但限定只能走↑→↓三种方向，而且道路不重复走。试问以

下情形各有几种走法？

B ? (1)由A到B有 种走法。

? (2)由A不经过P到B有 种走法。

P Q ?(3)由A不经过Q到B有 种走法。

? A (4)由A不经过P且不经过Q到B有 种走法。

(5)由A经过P但不经过Q到B有 种走法。

11. 考虑正五边形及其所有对角线所成的图形，此图形中各线段围成之各种三角形

相似者列为一类，共有m类，全等者列为一类，共有n类，求m= 及n= 。总共有 个三角形。

12. 在平面上任意画不完全重合之n个相异圆至多有 个交点。

13. 排容原理：1到100之自然数中，是2或3或5的倍数共有 个。 14. 千元钞2张，五百元钞3张，百元钞4张，每次至少取一张，(1)共有 种

取法。 (2)可以配出 种不同的款项。

15. 今有五个不同的门，甲、乙两人由不同的门进入，不同的门出来，(1)自己可由

相同的门进出有 种方法。 (2)自己不可由相同的门进出有 种方法。(3)自己必须由相同的门进出有 种方法。

16. 砝码有1克、2克、4克、8克重各两个，则可秤 种不同的重量。 17. 砝码有1克、2克、4克、20克重各两个，则可秤 种不同的重量，并求这些重量的总和。（分砝码只可放一边及两边均可放讨论）

A B C D 18. 右图中A , B , C , D , E , F表示岛屿，连结它们的线段表示桥

梁。某人由A岛出发旅行，并由一岛走到另一岛。当他快要走过相同桥梁两次之时，他才停止在该岛上吃午饭。请问他在吃午饭之前， E F 他可以步行之方法有 种。（有桥可走则不立即回头，不需每岛或每桥

1

都走过）

19. 用0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5等六个数字排成三位数，(1)数字可重复有 种。(2)

数字不可重复的偶数有 种。(3)数字不可重复的5的倍数有 种。

B

20. 如右图，由A至B走快捷方式（走法 →↑↗），(1)其走法有 种。 ? (2)不能通过C点，其走法有 种。 21. 将1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6填入右图六格使右方数字大 C A B C ?于左方数字，上方数字大于下方数字之方

? D E F A 法数 种。

22. 从1到9876的自然数中，数字中有0的数（例如102或3004等），共有

个。如果从1 , 2 , 3 , …一直写到9876时，一共要写 个0。

A B 23. 有一个人流浪A , B , C , D四镇间，此四镇相邻关系如右图。假设

每日清晨，此人决定当日夜晚留宿该镇或改而前往相邻任一镇。若

C D 此人第一夜宿A镇，则(1)第四夜宿C镇有 种情形。(2)第

五夜此人宿于A有 种情形。 24. 凸n边形之对角线共有 条。 25. 求下列之n值。(1)P3:P3nnnnn?2?5:12。(2)P3?10?P2。(3)C4?Cn?2。

n?1n?11818(4)Cm?1:Cm:Cm?1?3:4:5，求m–2n之值。

26. A , B , C , D , E , F , G七人排成一列，求下列各情形之排列数： (1)A , B , C三人必相邻 种。

(2)A , B , C , D四人中仅仅三人相邻 种。 (3)A , B , C三人都不与D相邻 种。 (4)A不排首位 种。

(5)A , B相邻，C , D不相邻 种。 (6)A , B , C任二人均不相邻 种。

(7)A , B不排首位，C , D不排末位 种。 (8)A , B不得相邻，C , D , E三人相连 种。

(9)A , B不得相邻，且C , D , E三人不得相连 种。

27. 有A , B , C , D , E , F六家，除B与C外，其余每两家均有直道相通，且无三家

在一直在线。今一人由A出发，访问其他五家，又返回A，但每家不得重复访问。共有 种不同的访问法。

28. (1)五男四女排成一列，男女相间之排法有 种。

(2)五男五女排成一列，男女相间之排法有 种。

Ans：1. 10。A胜4种，B胜6种。 2. 128 3. 320 4. 60 5. 24；1680；54012 6. 12 7. 2142 8. 1440 9.(1)7 (2)29 10.(1)98 (2)42 (3)34 (4)18 (5)16

11.m?2,n?5；35个 12.n2?n 13. 74 14.(1)59 (2)39 15.(1)400 (2)260 (3)20 16. 30 17.一边：44,1215；两边：54,1485 18. 11 19.(1)180 (2)52 (3)36 20.(1)90 (2)26 21.5 22. 2598,2867 23.(1)7 (2)21 24.n(n?3)/2 25.(1)7 (2)4 or 5 (3)2 or 12 (4)-97 26.(1)720 (2)1728 (3)1440 (4)4320 (5)960 (6)1440 (7)2640 (8)432 (9)1152 27. 72 28.(1)2880 (2)28800

29. 错位排列：(1)10人排成一列，甲一定排首位之方法有 种。

2

(2)10人排成一列，甲不排首位之方法有 种。

(3)10人排成一列，甲不排首，乙排第二位之方法有 种。 (4)10人排成一列，甲不排首，乙不排第二位之方法有 种。

(5)10人排成一列，甲不排首，乙不排第二位，丙排第三位之方法有 种。 (6)10人排成一列，甲不排首，乙不排第二位，丙不排第三位之方法有 种。 30. 设A?{a1,a2,a3,a4}?{1,2,3,4}，则排成数列a1,a2,a3,a4时， (1)满足(a1?1)(a2?2)(a3?3)(a4?4)?0之排法有 种。 (2)满足(a1?1)(a2?2)(a3?3)(a4?4)?0之排法有 种。

31. 从100到499的自然数中，数字均相异的有 个。 32. 3000到8000数字均相异之奇数共有 个。

33. 班上干部中，班长、副班长……卫生共8人，从此八人选出5人排成一列，

(1)班长、副班长必参加的排列数有 种。(2)班长、副班长必选出且排在相邻位置，其法有 种。

34. 以0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2作成的8位偶数共有 种。

35. 掷一枚硬币10次，有 种情形得到7次正面与3次反面。

36. 有2红球、3白球、4黑球，球皆相同，分给各人，每人至多一球，球必分完，

求下列各人数的分法：(1)9人 (2)12人。

37. 把「庭院深深深几许」七自重新排列。试求下列各排列数：

(1)任意排成一列 (2)三个「深」完全排在一起 (3)恰有两个「深」连在一起 (4)三个「深」完全分开 (5)三个「深」不完全连在一起

38. 一楼至二楼共有八级楼梯，某人上楼，或跨一级，或跨二级，问有 种

不同上楼的方法。

39. 警报器长鸣一次需3秒，短鸣一次需1秒，休息（间隔）一次需2秒，问30秒

长可有 种不同的信号。

40. 甲、乙、丙、丁、戊、己等6人排成一列，(1)规定甲一定在乙右方之排法有

种。(2)甲在乙的左方，乙又在丙的左方的排法有 种。(3)甲在乙和丙的左方的排法又有 种。（本题甲、乙、丙不一定要相邻）

41. 英文字factoring中各字母，每次全取排列：(1)元音保持a , o , i顺序者有

种。(2)子音保持f , c , t , r , n , g顺序者有 种。(3)元音保持a , o , i顺序，同时子音保持顺序f , c , t , r , n , g顺序者有 种。

42. 「我为人人，人人为我」八个字排成一列，使同字不相邻之排法有 种。 43. 4个中国人，2个美国人，2个日本人排成一列，使同国籍的人不相邻之排法有

种。

44. 如右图，某人沿着坐标格子线的道路由 A (－3,－3) 走y B 到 B (6 , 4)，要取快捷方式：(1)走法有 种。 ? (2)每次都须经过原点，则走法有 种。

C ? (3)不经过原点之走法有 种。

(4)同时经过原点与C点有 种。 x (5)至少经过原点及C点之一有 种。 ? A (6)若必经过第二象限有 种。

3

(7)若不经过第四象限有 种。

45. 如右图A到B的快捷方式走法中不经过斜线区域者有 种。

46. 有3公分及2公分长之两种纸条，今自上往下接10公分长之纸条上下挂起来，

但每一连接处为1公分，求其连接法有 种。

47. 三个苹果、四个梨子、五个橘子分给12个人，每人一个，则有 种分法。

（设同类水果完全相同）

48. 有一楼梯共有7级，甲上楼，一步最多可跨三级楼梯。设甲一次跨一级、跨二

级、跨三级所费时间比为3:4:5，则甲在费时最少之情形下，上楼的方法有 种。

49. 四男四女混合排一列（八个人身高都不相同），男生较高者必在男生较矮者之左

侧，女生较高者必在女生较矮者之左侧，其排列数有 种。 50. 右图中，这些纵横线段共可构成 个矩形（包括正方形）；

构成 个正方形。

51. 自原点O(0,0,0)到P(3,3,4)沿着x轴、y轴或z轴之平行方向行走，

设路线之每一小段长均为1，则 (1)由O到P走快捷方式，有 种走法。(2)由O到P走快捷方式，但至少经过Q(1,1,2)或R(2,2,2)中之一点，有 种走法。

52. 五对夫妇围圆桌而坐（只论左邻、右邻），(1)任意围成一圆之坐法有 种。

(2)男女相间之排法有 种。(3)夫妇相邻之排法有 种。(4)夫妇相邻且男女相间之排法有 种。(5)男女对坐共 种。

53. 四对夫妇为圆桌而坐，只论左邻、右邻，规定男女相间且夫妇不相邻之方法共

有 种。

54. 8人围一张正方桌，每边2人，坐法共有 种。

55. 主人、主妇和6位宾客围一张长方桌，两端各坐一人，长边各坐

三人（如图），(1)任意坐有 种坐法。(2)主人、主妇坐在两端有 种坐法。(3)主人、主妇相对而坐有 种坐法。(4)主人、主妇在同一边且相邻有 种坐法。 56. 4红、3白、1黄、4蓝宝石的项圈排列数为 。

57. (1)用6种颜料涂一正方体之每边，且各面须异色，则可涂出 种不同色

彩之正立方体。(2)若由10种颜料来涂此正方体，有 种。

58. 用六种颜色涂一正四面体，(1)各面异色之涂法有 种。(2)相邻面可同色

之涂法有 种。（涂法中，若经翻转后相同时，视为一种涂法）

Ans：29. (1)9!=362880 (2)10!?9!?9?9!?3265920(3)9!?8!?8?8!=322560

(4)10!?2?9!?8!?2943360 (5)9!?2?8!?7!?287280 (6)10!?3?9!?3?8!?7!?2656080 30.(1)9 (2)15 31. 288 32. 1232 33.(1)2400 (2)960 34. 270 35. 120

36.(1)1260 (2)277200 37.(1)840 (2)120 (3)480 (4)240 (5)720 38. 34 39. 80 40.(1)360 (2)120 (3)240 41.(1)60480 (2)504 (3)84 42. 24 43.2304

44.(1)11440 (2)4200 (3)7240 (4)1600 (5)6800 (6)2080 (7)6280 45. 107 46. 55

47. 27720 48. 6 49. 70 50. 228；55 51.(1)4200 (2)1872 52.(1)362880 (2)2880 (3)768 (4)48 (5)46080 53. 12 54. 10080 55.(1)20160 (2)720 (3)2880 (4)1440 56. 5790 57.(1)30 (2)6300 58.(1)30 (2)141

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