一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法
姜旭东
摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder不动点定理，以及Euler折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.
关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言
微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder不动点定理，以及Euler折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.
考虑一阶微分方程
这里f(x,y)是在矩形区域
dy?f(x,y) (1.1) dxR:|x?x0|?a,|y?y0|?b (1.2)
上的连续函数.
函数f(x,y)在R上满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使得不等式
|f(x,y1)?f(x,y2)|?L|y1?y2| (1.3)
对所有(x,y1),(x,y2)?R都成立, L称为Lipschitz常数。
定理1.1、如果f(x,y)在R上连续且关于y满足Lipschitz条件，则方程(1.1)存在唯一的解
y??(x),定义于区间|x?x0|?h上,连续且满足初始条件
?(x0)?y0
这里h?min(a,b),M?max|f(x,y)|.
(x,y)?RM文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间x0?x?x0?h来讨论,对于
1
x0?h?x?x0的讨论完全一样.
分五个命题来证明这个定理:
命题1、设y??(x)是方程(1.1)定义于区间x0?x?x0?h上满足初始条件
?(x0)?y0
的解,则y??(x)是积分方程
xy?y0??f(x,y)dx x0?x?x0?h (1.4)
x0的定义于x0?x?x0?h上的连续解.反之亦然. 现在取?0(x)?y0,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
?0(x)?y0??x??(x)?y0??f(?,?n?1(?))d??x0?nx0?x?x0?h (1.5)
(n=1,2,…) 命题2 、对于所有的n ，(1.5)中?n(x)在x0?x?x0?h上有定义、且满足不等式
|?n(x)?y0|?b
命题3 、函数序列??n(x)?在x0?x?x0?h上是一致收敛的. 命题4 、?(x)是积分方程(1.4)的定义于x0?x?x0?h上的连续解.
命题5 、?(x)是积分方程(1.4)的定义于x0?x?x0?h上的一个连续解，则?(x)??(x)，
x0?x?x0?h.
综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.
本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder不动点定理，以及Euler折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.
2、预备知识
定义 2.1、 定义在??t??上的实值(m维)向量函数族F??f(t)?,如果存在数M＞0，使得对任一f?F，都有f(t)?M，当??t??时，则称函数族F在??t??上是一致有界的.
2
定义2.2 、定义在??t??上的实值(m维)向量函数族F??f(t)?，如果对于任给的?﹥0，总存在 ?﹥0，使得对任一f?F和任意的t1,t2?[?,?]，只要|t1,?t2|＜?就有
f(t1)?f(t2)＜?
则称函数族F在 ??t??上是同等连续.
定义2.3、设X是度量空间，M是X中子集，若M是X中紧集，则称M是X中相对紧集。 定义2.4、设X和Y是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果对X的任何有界子集M，
TM都是Y中相对紧集，则称T为全连续算子，亦称紧算子。
容易看出，T为全连续算子的充要条件是：设{xn}是X中的有界点列，则{Txn}必有收敛子列。 定义2.5、设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数?,0???1，使得对所有的x,y?X，成立
d(Tx,Ty)??d(x,y),
则称T是压缩映射。
引理2.6、完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。 引理2.7、C[a,b]是完备的度量空间，其中C[a,b]表示区间[a,b]上连续函数全体。 定理2.8、(压缩映像原理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx?x有且只有一个解）。
定理2.9、(Banach压缩映象原理) 设D是Banach空间X的一个非空闭子集,T是D到其自身内的映象,对任意的x,y?D,有||Tx?Ty||??||x?y||,0???1,则必存在唯一的
x*?D使得Tx*?x*,即T在D内有唯一不动点x*.
定理2.10、(Ascoli-Arzela定理)设F?{f(t)}是定义在??t??上的一致有界且同等连续的实值向量函数族，则从F中必可选取一个在??t??上一致收敛的函数列{fn(t)}(n?1,2,?)。
定理2.11、（Schauder不动点定理）设K是Banach空间X的一个有界凸闭集，而T是K到其自身的任一全连续映射，则T在K内至少有一个不动点。
3、主要证明方法
考虑方程组
dx?f(t,x) （3.1） dt其中t?R，x?R，f:G?Rnn?1，G是Rn?1中的某一区域。
若给定一点(?,?)?G，这里?是一实常数，?是一实的n维常向量，求一个向量函数?(t)，它在含?的某一区间?上可微，并满足条件： (1)?(?)??;
(2)(t,?(t))?G,t??;
3
(3)
?'(t)?f(t,?(t)),t??
这一问题称为方程组（3.1）的初值问题，并记为
dx?f(t,x),x(?)?? dt若存在满足上述条件的函数?(t)，则称?(t)为方程（3.1）满足初始条件?(?)??或过点(?,?)的一个解。
3.1 Picard逐次逼近法（压缩映像原理）
定理 3.1 若函数f(t,x)是空间R?n?1中区域，R：|t??|?a,||x??||?b 上连续，设
?||f(t,x)||?M,(t,x)?R，f(t,x)在R上关于x上满足Lipschitz条件，及存在常数L使对任意(t,x),(t,x)?R，有
||f(t,x)?f(t,x)||?L||x?x|| （3.2）
则方程组（3.1）在区间J?[???,???]上有唯一的满足初始条件x(?)??的连续解，其中
???????min{a,b1,},||?||为欧氏范数. ML证明：设C[???,???]表示区间J?[???,???]上连续函数全体按距离
t?Jd(x,y)?max||x(t)?y(t)||所成的度量空间，由引理2.7知C[???,???]是完备的度量空间，又
令C表示C[???,???]中满足条件
||x(t)??||?M?,t?J （3.3） 的连续函数全体所成的子空间，不难看出C是闭子空间，由引理2.6可得，C是完备度量空间，令： (Tx)(t)??????????f(t,x(t))dt （3.4）
?t(t,x(t))?R，则T是C到C的映射。事实上，M??b，所以如果x?C，那么当t?[???,???]时，
又因为f(t,x(t))是R上的连续函数，所以（3.4）式右端积分有意义，又对一切t?J成立：
??||(Tx)(t)??||?||?f(t,x(t))dt||?M|t??|?M??b
?t所以，当x?C时，Tx?C。下面指出T是压缩映射，事实上，由Lipschitz条件，对C中任意两点x和x，有
????||(Tx)(t)?(Tx)(t)||?||?[f(t,x)?f(t,x)]dt||?|t??|Lmax||x(t)?x(t)||?L?d(x,x)
?t?J?t???令??L?，则0???1，且
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d(Tx,Tx)?max||(Tx)(t)?(Tx)(t)||??d(x,x)
t?J???所以T是C上的压缩映射。由定理2.8.存在唯一的x?C，使Tx?x，即
??x(t)????f(t,x(t))dt
?t且x(?)??，两边对t求导，即得
dx(t)dx?f(t,x(t))，这说明x(t)是方程?f(t,x)满足初值条件dtdtx(?)??的解，那么，
x(t)????f(t,x(t))dt
?~t~因而x?C，且x是T的不动点，由定理2.8中不动点的唯一性必有x?x，即方程区间J?[???,???]上有唯一的满足初值条件x(?)??的连续函数解。
~?~~dx?f(t,x)在dt
说明1：定理3.1与定理1.1相比较, 定理3.1中解的存在区间J?[???,???]b1,}?受Lipschitz条件L的限制,下面给出定理3.1的改进,使得方程组（3.1）MLb在区间J?[???,???]，其中??min{a,}不受Lipschitz条件L的限制.
M中,??min{a,
定理 3.2 若函数f(t,x)是空间R?n?1中区域，R：|t??|?a,|x??|?b 上连续，设
?|f(t,x)|?M,(t,x)?R，f(t,x)在R上关于x上满足Lipschitz条件，及存在常数L使对任意(t,x),(t,x)?R，有
|f(t,x)?f(t,x)|?L|x?x|
则方程组（3.1）在区间J?[???,???]上有唯一的满足初始条件x(?)??的连续解，其中
?????b}。 M证明：设C[???,???]表示区间J?[???,???]上连续函数全体所构成空间，如果对任意的x(t)?C[???,???],定义它的范数为
??min{a,||x(t)||?max{|x(t)|e?kt;t?[???,???]},
其中k?L为常数.不难验证C[???,???]为Banach空间，又令C表示C[???,???]中满足条件
|x(t)??|?b,t?J 的连续函数全体所成的子空间. 令：
? 5
(Tx)(t)???任取x?C,由于|(Tx)(t)??|?|则T是C到C的映射。
?????tf(s,x(s))ds
??tf(s,x(s))ds|?M??b,t?[???,???]
下面指出T是压缩映射，事实上，由Lipschitz条件，对C中任意两点x和x，有
??|(Tx)(t)?(Tx)(t)|?|?[f(t,x)?f(t,x)]dt|?L?|x(s)?x(s)|e?kseksds?
???Lmax{|x(t)?x(t)|e?kt}ekt kt?J?t?t?即:
|Tx(t)?Tx(t)|e从而
?_?kt?L?max{|x(t)?x(t)|e?kt} kt?J?LL||(Tx)(t)?(Tx)(t)||?||x?x||,0??1.
kk 令??L，则0???1，且 k||(Tx)(t)?(Tx)(t)||??||x?x||
所以T是C上的压缩映射。由定理2.8.存在唯一的x?C，使Tx?x，即
????x(t)????f(t,x(t))dt
?t且x(?)??，两边对t求导，即得
dx(t)dx?f(t,x(t))，这说明x(t)是方程?f(t,x)满足初值条件dtdtx(?)??的解，那么，
x(t)????f(t,x(t))dt
?~t~因而x?C，且x是T的不动点，由定理2.9中不动点的唯一性必有x?x，即方程区间J?[???,???]上有唯一的满足初值条件x(?)??的连续函数解。
注1:定理3.1与定理3.2指出,从一个在J中的连续函数?0(x)出发按
~?~~dx?f(t,x)在dt?0(t)???n(t)????f(s,?n?1(s))ds??t????x0t
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去计算,我们得到逐次逼近序列,并且这个序列按范数在J中收敛于初值问题的解x(t)这样就得到求近似解的方法. 例1 方程
dydx?x2?y2定义在矩形区域 R: ?1?x?1, ?1?y?1 ,确定经过点(0,0)
的解的存在区间 ,并在此区间上求第三次近似解. 解:
满足解的存在唯一性定理的条件
M?(maxx,y)?Rx2?y2?2,h?min(a,bM)?min(1,12)?12,Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为 ?f?y?2y?2?L ?0(x)?0
?)??x[x2??200(x)]dx?x31(x3
x22)]dx??x[x2x6x3x7?2(x)??0[x??1(x0?32]dx?3?63
?x22x2x62x10x14x3x72x11x153(x)??0[x??2(x)]dx??0[x?32?189?3969]dx?3?63?2079?59535
注2 使Lipschitz条件存在的一个充分条件是f对y有连续偏导数. 例2
dydx?y R 为中心在原点的矩形域, f(x,y)?y 在 y?0 (x轴上) 无导数, 但
f(x,y1)?f(x,y2)?y1?y2?y1?y2,故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。
注3 定理3.1,定理3.2 中的两个条件是保证初值问题存在唯一的充分条件，而非必要条件。
例3 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一
dydx?f(x,y)???a y?ax a?0?0 y?ax f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一
???当 y?ax dy?a y?ax?dx ???当 y?ax dydx?0 y?C例4 当 Lipschitz 条件不满足时，解也可能存在唯一
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?ylny y?0dy?f(x,y)?? dx y?0?0 f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipschitz 条件，但解存在唯一
f(x,y1)?f(x,0) ?y1lny1?0 ?lny1y1?0
y?0, lny1??不可能有界
dlnydydy?ylny ?dx ?dx dxylnylnylnlny?x?c1 lny?c2ex
??y??ec2e ???y?0推论1 线性方程
xdy?p(x)y?Q(x),当P(x),Q(x)在区间[?,?]上连续,则由任一初值dx(x0,y0)x0?[?,?]所确定的解在整个区间[?,?]上都存在.
证明: 右端函数p(x)y?Q(x)在带状区域R:[?,?]?(??,??)上连续,则右端函数p(x)y?Q(x)在区域R:[?,?]?[y0?b,y0?b]上连续,又因为P(x)在[?,?]上连续,则maxP(x)?L
x?[?,?]从而右端函数p(x)y?Q(x)满足定理3.2中条件,故线性方程
dy?p(x)y?Q(x)对任一初值dx(x0,y0)(x0,y0)
x0?[?,?]在|x?x0|?h上有唯一解.,由任意x0?[?,?] ,则由任一初值x0?[?,?]所确定的解在整个区间[?,?]上都存在.
?)的某一邻域中, ?,如果在点(x0,y0,y0推论2 一阶隐方程F(x,y,y?)?0,y(x0)?y0,y?(x0)?y0?)连续，且存在连续的偏导数； a) F(x,y,y')对所有的变元(x0,y0,y0?)?0 b) F(x0,y0,y0c) ?)?F(x0,y0,y0?0
?y?则上述初值问题在x0的某一邻域存在
证明: 根据条件a),b)c),由数学分析(华东师大第三版)下册定理18.3F(x,y,y?)?0所确定的隐函数
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Fy??fy??f(x,y)在(x0,y0)邻域内存在且连续，且。 ???yFy??由条件a)，
?f在(x0,y0)的邻域内连续,在以(x0,y0)为中心的某一闭矩形区域D中有界,所以?yf(x,y)在D中关于y满足Lipschitz 条件.
?dy??f(x,y)故由F(x,y,y?)?0所确定的隐函数y??f(x,y)满足定理3.2的条件,所以?dx存在唯一
??y(x0)?y0解.
注:隐式微分方程存在唯一性定理也可应用压缩映射原理证明,见文[17].
说明2：证明微分方程解的存在性过程，就是在不断的寻求定理条件减弱的前提下来证明解的存在性。下面在右端函数不要求满足Lipschitz 条件下，给出微分方程解的存在性的另外两种证明方法，但是不能证明解的唯一性。
3.2 Schauder不动点方法
定理3.3（Peano）若函数f(t,x)是空间R?n?1中区域，R：|t??|?a,||x??||?b 上连续，因
?而存在数M?0，使得||f(t,x)||?M,(t,x)?R，则方程组（3.1）至少在区间
?:|t??|?h?min{a,上存在一个满足初始条件?(?)??的解?(t)。
b} M证明：考虑定义在?上的一切连续函数所构成的空间X，若在X中定义模为
||x(t)||?max|x(t)|, x(t)?X;
t??
则容易验证X是一Banach空间。 考虑空间X的一个子集合
K?{x(t):x(t)?X,||x(t)??||?Mh}
和K上的一个积分算子T：
(Tx)(t)????f(s,x(s))ds, x(t)?K
?t 显然，为证明定理，只要证明算子T在K上有一个不动点就够了，为此首先证明K是一凸闭集。 任取?个xi(t)?K(i?1,2,?,?)，那么只要?i?0,??i?1?i?1,就有
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||??ixi(t)??||?||??i(xi(t)??)||???iMh?Mh
i?1i?1i?1??? 即
??x(t)?K，因此K是凸的。
iii?1? 又设{xi(t)}?K(i?1,2,?)且xi(t)?x0(t)?X；则由||xi(t)??||?Mh，则||x0(t)??||?Mh,得
x0(t)?K，因此K是一闭集。
根据h的定义，易知算子T在K上有定义，并由对任意的x(t)?K有
t||(Tx)(t)??||?||?f(s,x(s))ds||?Mh,t??,
?从而有
||(Tx)(t)??||?Mh （3.5）
故T(K)?K，这说明T是K到它自身的一个算子。
最后证明T在K上是全连续的。为此，设x*(t),xi(t)?K,(i?1,2,?),且xi(t)?x*(t)；于是对于任给的??0，必存在N，使得i?N,t??时有，|xi(t)?x*(t)|?||xi(t)?x*(t)||?? ，因此xi(t)在?上一致收敛于x(t)，从而由
*(Txi)(t)????f(s,xi(s))ds,
?t令i??得
(Txi)(t)????f(s,xi(s))ds?(Tx*)(t)
?t这说明T在K上是连续的。进而，由于对任一x(t)?k和任意的t1,t2??,有
||(Tx)(t1)?(Tx)(t2)||?||?f(s,x(s))ds||?M|t1?t2|,
t1t2所以T(K)作为定义在?上的函数族是同等连续的，此外，由（3.5）式看出这个函数族在?上是一致有界的，故由Ascoli-Arzela定理便知T(K)是相对紧的。
这样由Shauder 不动点定理，必存在一个?(t)?K，使T?(t)??(t)即：
t?(t)????f(s,?(s))ds,t??
?定理得证。 3.3 Euler折线法
定理3.4（Peano）若函数f(t,x)是空间R?n?1中区域，R：|t??|?a,||x??||?b 上连续，因
?而存在数M?0，使得||f(t,x)||?M,(t,x)?R，则方程组（3.1）至少在区间
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?:|t??|?h?min{a,上存在一个满足初始条件?(?)??的解?(t)
b} M 下面介绍Euler折线法，这个方法基于如下几何考虑。
对于n?1的情形，我们考虑方程（3.1）在区域G上所确定的方向场，过点(?,?)?G向右作斜率为f(?,?)的直线段；在这直线段上再取G内的另一点(t1,x1)，过点(t1,x1)向右作斜率为
f(t1,x1)的直线段；然后，在这直线段上再取G内的另一点(t2,x2)，过点(t2,x2)再向右作一斜率为f(t2,x2)的直线段；这样继续下去，我们就可以作出一条右行折线，同样，可以过点(?,?)?G向左
方作出类似的折线，这样的折线称为方程（3.1）过点(?,?)?G的Euler折线
从直观上看，Euler折线在某种意义下是方程（3.1）的一条近似积分曲线，而且当每相邻两点
tk,tk?1之间的距离越小时就越近似。因此，当每相邻两点tk,tk?1之间距离越趋向于零时，Euler折线
就越趋向所求积分曲线。
基于这一几何设想，要证明定理需选出一族刻画Euler折线的近似解，并从其中抽出一个一致收敛的子列，使它的极限函数就是定理所求的解。
证明:分三步来做：
（一）对任给的??0，必存在方程（3.1）的一个?逼近解，即存在满足下列条件的函数??(t)： （1）(t,??(t))?R，当t??时；
（2）??(t)在?上连续，并在?上除有限个点外，??(t)处处具有连续导数，而在这有限个点处，??(t)的左右导数都存在；
（3）||??(t)?f(t,??(t))||??，当t??时；但在导数不存在的点处，??(t)应理解为??(t)的左导数或右导数。
事实上只要在?的右半区间上?:??t?t?h上找到?逼近解就够了；左半区间的讨论类似。 因为f(t,x)在R上连续，从而一致连续；故对任给的??0，必存在???0使
???''||f(t,x)?f(t,x)||?? （3.6）
当(t,x)?R，(t,x)?R，|t?t|???,||x?x||???时。 将区间用l?1个分点加以分割：
??????????t0?t1?t2???tl???h，
使 max|tk?tk?1|?min{??,1?k?l??M} （3.7）
11
现在做函数??(t)：
??(?)??? tk?1?t?tk,k?1,2,?,l （3.8） ??(t)??(t)?f(t,?(t))(t?t)?k?1k?1?k?1k?1??下证：??(t)在区间?上有定义并且是方程（3.1）的一个一个?逼近解。 根据（3.8）??(t)显然在??t?t1上有定义且满足
||??(t)??||?||f(?,?)||(t??)?Mh?b （3.9）
设??(t)在??t?tk(k?1)上有定义且满足（3.9）于是它在tk?t?tk?1上有定义且满足
?
||??(t)??||?||??(t)???(tk)????(ti)???(ti?1)||
i?1kk ?||??(t)???(tk)||??||??(t)???(tii?1i?1)||
?||f(tk,??(tk))||(t?tk)??
?||f(ti?1ki?1,??(ti?1))||(ti?ti?1)?M(t??)?Mh?b
由此可见，??(t)在整个?上有定义且满足（3.9），从而满足作为?逼近解得条件（1），再根据??(t)的定义，显然还满足作为?逼近解得条件（2） 此外又根据
：当t,t??时有||??(t)???(t)||?M|t?t|，于是若??(t)的定义（3.8）
~?~~tk?1?t?tk(k?1,2,?l),则由（3.7）得出
||??(t)???(tk?1)||?M|t?tk?1|?M|tk?tk?1|???
从而由式（3.8）（3.7）（3.6）得到：当tk?1?t?tk(k?1,2,?l),时有
||??(t)?f(t,??(t))||?||f(tk?1,??(tk?1))?f(t,??(t))||??
又
'||??(tl)?f(tl,??(tl))||?||f(tl?1,??(tl?1))?f(tl,??(tl))||??
这说明??(t)满足作为?逼近解的条件（3），因此，??(t)是方程（3.1）在?上的?逼近解。 （二）设?m(m?1,2,?)是任意趋向于零的正数序列。根据（一），对每一个?m?0，都对应
?
' 12
方程（3.1）的一个?m逼近解x??m(t),它在?上有定义，?m(?)??，并满足；当t,t??时：
（3.10） ||?m(t)??m(t)||?M|t?t|
特别在（3.10）中令t??，则得，
~?
~?~~||?m(t)||?||?||?Mh当t???时，
这说明{?m(t)}在?上是一致有界的，又由（3.10），显然{?m(t)}在?上是同等连续，根据Ascoli-Arzela定理，在{?m(t)}必存在一个子序列{?mk(t)}，它在?上一致收敛于某一函数?(t)，由于?mk(t)?C(??)(k?1,2,?)因此?(t)?C(??)
（三）下面证明：?(t),t??就是方程（3.1）满足初始条件?(?)??的一个解。 事实上，因?m(t)是方程（3.1）的?m逼近解，故
?m(t)?f(t,?m(t))??m(t)，当t??时， （3.11） 其中?m(t)满足 ||?m(t)||??m 当t??时， （3.12） 对（3.11）两端积分，并?m(?)??，便得
??
?
?
?'??m(t)????f(s,?m(s))ds???m(s)ds,t???
??tt特别
?m(t)????f(s,?m(s))ds???m(s)ds,t??? （3.13）
ktt?k?k由（3.12）知lim?mk(s)ds?0,t??
k????t?又因为f(t,x)在R上一致连续以及?mk(t)??(t)在?上一致的成立，故在?上一致的有
???
f(t,?mk(t))?f(t,?(t)),当k??时
从而可以在积分号下取极限，即有
k???ttlim?f(s,?mk(s))ds??f(s,?(s))ds,t???
?这样，在（3.13）两端令k??，得
?(t)????f(s,?(s))ds,t??? （3.14）
?t因为?(t)在?上是连续函数，以及右端函数，从而?(t)在?上连续可微，于是（3.14）两
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??
端对t求导数，即得方程（3.1）的解，并且满足初始条件?(?)??。
注：上述定理证明蕴含着对方程（3.1）近似求解的一种途径。如命xk??(tk)则有（3.8）得到近似求解的计算程序：
x0??? k?1,2,?,l。 ?x?x?f(t,x)(t?t)k?1k?1k?1kk?1?k
本文给出证明微分方程初值问题解的存在唯一性的几种方法中，全部要求右端函数f(t,x)连续。1998年, 吴从炘、李宝麟教授在不连续系统有界变差解一文中，应用比黎曼积分和勒
贝格积分更广泛的Henstock-kurweil积分证明了右端函数f(t,x)不连续时，其初值问题存在唯一的连续有界变差解，可见微分方程解的存在性证明，就是寻求不断减弱条件来证明解的存在性。
致谢
衷心地感谢我的论文指导老师原文志教授悉心的指导和不倦的教诲，在本文写作过程中，原老师提出了许多宝贵的意见和建议。在这里同时感谢数学系的许多老师 在我四年的求学生涯中他们在生活上学习上给了我极大的帮助和支持。他们严谨的治学态度和对科学知识的探求精神深深地感染了我，令我终身受益。 感谢我的同学们对我生活和学习地帮助。
诚挚地感谢各位评委在百忙之中抽出宝贵时间来参加我的论文答辩会。
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The other method for existence and uniqueness of solutions of the first
order differential equations
Student: Jiang Xudong Instructor:YuanWenzhi
(Class 2004101107 Department of Mathematics Taiyuan Normal University)
Abstract :In this paper, based on the existence and uniqueness of solutions of the first order differential equations was proved on the paper[1]. By using the contraction mapping theorem ,Shauder fixed point theorem, and Euler line method. We get the first order differential equations of existence and uniqueness theorem of the other method.
Key words : first order differential equations ;Fixed point theorem; Existence of solutions; uniqueness
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