附录 热传导方程的求解

在我们的实验条件下，以试样中心为坐标原点，温度t随位置x和时间?的变化关系

t(x,?)可用如下的热传导方程及边界，初始条件描述

??t(x,?)?2t(x,?)?a?2???x???t(R,?)qc?t(0,?)??0 （1） ???x??x?t(x,0)?t0??式中a??/?c，?为材料的导热系数，?为材料的密度，c为材料的比热， qc为从边界向中间施加的热流密度, t0为初始温度。

为求解方程（1），应先作变量代换，将（1）式的边界条件换为齐次的，同时使新变量的方程尽量简洁，故此设

t(x,?)?u(x,?)?aqcq??cx2 （2） ?R2?R将（2）式代入（1）式，得到u(x,?)满足的方程及边界，初始条件

??u(x,?)?2u(x,?)?a?2???x???u(R,?)?u(0,?)?0?0 （3） ??x?x?qc2?u(x,0)?t?x0?2?R?用分离变量法解方程（3），设

u(x,?)?X(x)?T(?) （4） 代入（3）中第1个方程后得出变量分离的方程

T(?)???T(?)?0 （5） X(x)??X(x)?0 （6） （5），（6）式中?为待定常数。 方程（5）的解为

\2'2T(?)?e???2? （7）

方程（6）的通解为

?x?csin?x （8） X(x)?ccos

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'为使（4）式是方程（3）的解，（8）式中的c，c，?的取值必须使X(x)满足方程（3）的边界条件，即必须c?0，??n?/R。

由此得到u(x,?)满足边界条件的1组特解

''

un(x,?)?cncosn?x?eR?an2?2?R2 （9）

将所有特解求和，并代入初始条件，得

n?0?cncos?qn?x?t0?cx2 （10） R2?Rqc2x的傅氏余弦展开式的系数 2?R为满足初始条件，令cn为t0?q1Rc0??(t0?cx2)dxR02?R （11）

qcR?t0?6?cn?

qc22Rn?(t?x)cosxdx?00R2?RR （12）

2qR?(?1)n?12c2?n?an2?2R2将C0，Cn 的值代入（9）式，并将所有特解求和，得到满足方程（3）条件的解为

qcR2qcR(?1)u(x,?)?t0???6???2n?1n2?n?1n?cosx?eR?? （13）

将（13）式代入（2）式可得

t(x,?)?t0?

qca12R2R(?1)(??x??2??R2R6?n?1n2?n?1cosn?x?eR?an2?2?R2)上式即为正文中的（1）式。

实验四 多普勒效应综合实验

当波源和接收器之间有相对运动时，接收器接收到的波的频率与波源发出的频率不同的现象称为多普勒效应。多普勒效应在科学研究，工程技术，交通管理，医疗诊断等各方面都有十分广泛的应用。例如：原子，分子和离子由于热运动使其发射和吸收的光谱线变宽，称为多普勒增宽，在天体物理和受控热核聚变实验装置中，光谱线的多普勒增宽已成为一种分析恒星大气及等离子体物理状态的重要测量和诊断手段。基于多普勒效应原理的雷达系统已

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广泛应用于导弹，卫星，车辆等运动目标速度的监测。在医学上利用超声波的多普勒效应来检查人体内脏的活动情况，血液的流速等。电磁波（光波）与声波（超声波）的多普勒效应原理是一致的。本实验既可研究超声波的多普勒效应，又可利用多普勒效应将超声探头作为运动传感器，研究物体的运动状态。

实验目的

1. 测量超声接收器运动速度与接收频率之间的关系，验证多普勒效应，并由f-V关系

直线的斜率求声速。

2. 利用多普勒效应研究自由落体运动，并由V-t关系直线的斜率求重力加速度。 3. 利用多普勒效应研究简谐振动，测量简谐振动的周期等参数，并与理论值比较。 4. 利用多普勒效应研究匀加速直线运动，测量力、质量与加速度之间的关系，验证牛

顿第二定律。

实验原理

V1 α1 接收器 声源 α2 V2

图1 超声的多普勒效应示意图 根据声波的多普勒效应公式，当声源与接收器之间有相对运动时，接收器接收到的频率f为：

f?f0?u?V1cos?1

u-V2cos?2

（1）

式中f0为声源发射频率，u为声速，V1为接收器运动速率，α1为声源与接收器连线与接收器运动方向之间的夹角，V2为声源运动速率，α2为声源与接收器连线与声源运动方向之间的夹角（如图1）。

若声源保持不动，运动物体上的接收器沿声源与接收器连线方向以速度V运动，则从（1）式可得接收器接收到的频率应为：

?V?f?f0??1??

?u?

（2）

当接收器向着声源运动时，V取正，反之取负。

若f0保持不变，以光电门测量物体的运动速度，并由仪器对接收器接收到的频率自动计数，根据（2）式，作f-V关系图可直观验证多普勒效应，且由实验点作直线，其斜率应为 k=f0/u ，由此可计算出声速 u=f0/k 。

由（2）式可解出：

?f?V?u???f-1??

?0?

（3）

若已知声速u及声源频率f0 ，通过设置使仪器以某种时间间隔对接收器接收到的频率f

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采样计数，由微处理器按（3）式计算出接收器运动速度，由显示屏显示V-t关系图，或调阅有关测量数据，即可得出物体在运动过程中的速度变化情况，进而对物体运动状况及规律进行研究。

实验仪器及介绍

多普勒效应综合实验仪由实验仪，超声发射/接收器，红外发射/接收器，导轨，运动小车，支架，光电门，电磁铁，弹簧，滑轮，砝码及电机控制器等组成。图2为实验仪的面板图。仪器内置微处理器，带有液晶显示屏，实验仪采用菜单式操作，显示屏显示菜单及操作提示，由▲▼? ?键选择菜单或修改参数，按“确认”键后仪器执行。仪器对接收到的超声信号采用了无线的红外调制-发射-接收方式。即用超声接收器信号对红外波进行调制后发射，固定在运动导轨一端的红外接收端接收红外信号后，再将超声信号解调出来。由于红外发射/接收的过程中信号的传输是光速，远远大于声速，它引起的多普勒效应可忽略不计。采用此技术使得测量更准确，操作更方便。

图2 多普勒实验仪面板图

仪器面板上两个指示灯状态介绍

失锁警告指示灯：亮，表示频率失锁。即接收信号较弱（原因：超声接收器电量不足），此

时不能进行实验 ，须对超声接收器充电，让该指示灯灭； 灭，表示频率锁定。即接收信号能够满足实验要求，可以进行实验。

充电指示灯：灭，表示正在快速充电；

亮（绿色），表示正在涓流充电； 亮（黄色），表示已经充满； 亮（红色），表示已经充满或充电针未接触。

电机控制器功能介绍

1. 电机控制器可手动控制小车变换5种速度； 2. 手动控制小车“启动”，并自动控制小车倒回；

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