驻波的形成如图2所示。设图中的两列波是沿Ｘ轴相向传播的振幅相同、频率相同的简谐波。向右传播的波用细实线表示，向左传播的波用虚线表示，它们的合成波是驻波，用粗实线表示。由图可见，两个波节间或两个波腹间的距离都等于半个波长，这可从波动方程推导出来。

图2 驻波形成示意图

下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿Ｘ轴正方向传播的波为入射波，沿Ｘ轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点，且在x=0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：

Y2?Acos2?(ft?x/?)

式中Ａ为简谐波的振幅，ｆ为频率，λ为波长，ｘ为弦线上质点的坐标位置。 两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

Ｙ=Y1?Y2?2Acos2?(X/?)cos2?ft (1)

由式(1)可知，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2π(X/λ)｜,即驻波的振幅与时间t无关,而与质点的位置x有关(见图2)。

因为在波节处振幅为零，即

｜cos2π(X/λ)｜=0

2π(X/λ)=(2K+1)(π/2) (K=0,1,2,3,……) 所以可得波节的位置为

X=(2k+1) (λ/4) (2)

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而相邻两波节之间的距离为:

Xk?1?Xk??/2 (3)

又因为波腹处的质点振幅为最大,即

｜cos2π(X/λ)｜=1

2π(X/λ)=kπ (k=0,1,2,3,……) 所以可得波腹的位置为

X=k(λ/2) (4)

同理可知，相邻两波腹间的距离也是半个波长.因此,在驻波实验中,只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离,就能确定该波的波长。

由于固定弦的两端是用劈尖支住的，故两端点必为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：

Ｌ=n（λ/2） (n=1,2,3,……) 由此可得沿弦线传播的横波波长为

λ=2L/n (5) 式中的n为弦线上驻波的波段数,即半波数。 波动理论指出,弦线中横波的传播速度为:

V?T/? (6) 式中Ｔ为弦线中的张力,ρ为线密度，即单位长度的质量。 根据波速、频率及波长的普遍关系式V=fλ,将式(5)代入可得:

V?f2l (7) n由式(6)和式(7)可得

f?nT/? (n=1,2,3,……) (8) 2l由式(8)可知，当给定T、ρ、ｌ时，频率ｆ只有满足该式关系才能在弦线上形成驻波。同理，当用外力（例如流过金属弦线上的交变电流在磁场中受到交变安培力的作用）去驱动弦线振动时，外力的频率必须与这些频率一致，才会促使弦振动的传播形成驻波。

四、实验内容及步骤

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１．测定弦线的线密度ρ

选取频率f=100Hz，张力T由40.0g钩码挂在弦线的一端产生。调节劈尖Ａ、Ｂ之间的距离，使弦线上依次出现单段、两段及三段驻波，并记录相应的弦长Ｌ

ｉ

，由式（８）算出ρｉ（i=1,2,3），求出平均值?。

２．在频率ｆ一定的条件下，改变张力Ｔ的大小，测量弦线上横波的传播速

度Ｖｆ。

选取频率f=75Hz，张力T仍由钩码挂在弦线的一端产生。以30.0g钩码为起点，逐渐增加5.0g直至55.0g为止。在各张力作用下调节弦长L，使弦上出现n=1、n=2个驻波段。记录相应的T、n、L值,由式(7)计算弦上横波速度Vｆ。

３．在张力Ｔ一定的条件下，改变频率ｆ，测量弦线上横波的传播速度VT 将40.0g钩码挂在弦线一端,选取频率f分别为50Hz、75Hz、100Hz、125Hz、150Hz,调节弦长L,仍使弦上出现n=1、n=2个驻波段。记录相应的f、n、L值,由式(7)计算弦上横波速度VT。

五、数据表格及数据处理

表１ 弦线线密度的测量

弦长ｌ 驻波段 n=1 n=2 n=3 ｌA （cm） ｌB （cm） l=ｌB -ｌA （cm） 线密度ρ (kg/m) f= Hz; T= N; ?= kg/m

表2 频率不变时弦中波速的测定

砝码质量(g) 张力T=mg (N) l1A n=1 l1B l1 l2A n=2 l2B l2 ??? ?f? Tf?(cm) ?(m/s) ?υ= |υ-υf| (m/s) E (%) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (m/s) 30.0 35.0 40.0 - 9 -

45.0 50.0 55.0 f= Hz; ρ= kg/m

表3 张力不变时弦中波速的测定

频率f (Hz) l1A (cm) 50 75 100 125 150 n=1 l1B (cm) l1 (cm) l2A (cm) n=2 l2B (cm) l2 (cm) ? ?T?(cm) f?(m/s) ??T?υ= |υ-υT| (m/s) E (%) ?(m/s) T= H; ρ= kg/m

数据处理

１．取表１的数据，根据式（８）计算出弦线线密度ρ1、ρ2、ρ3，求出平均值?，作为本实验弦线的线密度。

???2２．表２、表３中的??1 ，其中?1和?2根据式（５）在n=1和n=2

2??的情况下计算得到。表中的E?×100%。

?六、注意事项

１．改变挂在弦线一端的钩码时，要使钩码稳定后再进行测量。

２．在移动劈尖调整驻波时，磁铁应在两劈尖之间，且不能处于波节位置，要等波形稳定后，再记录数据。

３．弦线为漆包线，使用时用火烧一下，或者用砂纸打磨，使其导通。

七、思考题

１．在图2中，除了波节和波腹外，你能指出驻波还有什么特征吗？ ２．在本实验中，产生驻波的条件是什么？

３．来自两个波源的两列波，沿同一直线作相向行进时，能否形成驻波？为什么？

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