(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵AHP?PA和矩阵-Q的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素pij?pji，将导致n(n+1)/2个线性方程。如果用?1,?2,?,?n表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和

?j??k?0

则P的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么?j??k的和总不等于零。

(6) 在确定是否存在一个正定的Hermite或实对称矩阵P时，为方便起见，通常取

Q?I，这里I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定

AHP?PA??I

然后再检验P是否正定。

------------------------------------------------------------------ [例3.5] 设二阶线性定常系统的状态方程为

?1??0?x?x????1??2??[解] 不妨取Lyapunov函数为

1??x1? ????1??x2?显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。

V(x)?xTPx

此时实对称矩阵P可由下式确定

ATP?PA??I

上式可写为

?0?1??p11?1?1??p???12p12??p11??p22???p12p12??01???10???1?1???0?1? p22?????? 将矩阵方程展开，可得联立方程组为

?2p12??1p11?p12?p22?0 2p12?2p22??1 从方程组中解出p11、p12、p22，可得

?p11?p?12?3p12??2??p22???1?21?2? ?1?? 为了检验P的正定性，我们来校核各主子行列式

3?0,2321212?0 1 显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov函数为

V(x)?xTPx?且

12(3x12?2x1x2?2x2) 2?(x)??(x2?x2) V12例3.6 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。

?1?x2，x?2??x1?x2 x22?(x)?2x2，V?(x)与x无关，故存解 原点是惟一平衡状态。选V(x)?x1?x2，则V21?(x)?0，而对其余任意状态有V?(x)?0，故V?(x)在非零状态（如x1?0,x2?0)，使V正半定。系统不稳定。

例3.7 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。 x?ax?x

2??0，得知系统有两个平解 这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令x衡状态，x?0和x??a。

对位于原点的平衡状态，选V(x)?x,有

2V(x)?2ax2?2x3?2x2(a?x)

于是，当a?0时，系统在原点处的平衡状态是局部(x??a)一致渐近稳定的；当

?(x)?0]。上述结论也a?0时原点显然是不稳定的；a?0时原点也是不稳定的[x?0,V可以从状态方程直接看出。

对于平衡状态x??a，作坐标变换z?x?a，得到新的状态方程 z??az?z

因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间x??a处的平衡状

态，当a?0时是局部一致渐近稳定的；当a?0时是不稳定的。

例3.8 试用李雅普诺夫方程确定使下图所示系统渐近稳定的k值范围。

2

3.3的系统框图 解 由图示状态变量列写状态方程

?0? x?0????k0??0??0?u

?21?x?????0?1???k??1稳定性与输入无关，可令u?0。由于detA??K?0，A非奇异，原点为惟一的平

衡状态。取Q为正半定矩阵

?000??? Q?000 ????001???(x)??xTQx??x2，V?(x)?0，有x?0，考虑状态方程中 ?(x)负半定。令V则V33?1?x2，解得x2?0，表明唯有原点存在x3??kx1?x3，解得x1?0；考虑到x?(x)?0。令 V AP?PA??Q

T?00?k??p11?1?20??p???12??01?1????p13p12p22p23p13??p11?pp23????12p33????p13p12p22p23p13??0?0p23???p33?????k0??000??000?

?21?????0?1????00?1??1展开的代数方程为6个，即

?2kp13?0，?kp23?p11?2p12?0，?kp33?p12?p13?0

2p12?4p22?0，p13?3p23?p22?0，2p23?2p33?0

解得

?k2?12k?12?12k??6k P??12?2k??0??6k12?2k3k12?2kk12?2k?0??k?

12?2k??6k?12?2k??使P正定的条件为：12?2k?0及k?0。故0?k?6时，系统渐近稳定。由于是线

性定常系统，系统大范围一致渐近稳定。

例3.9 如下系统是不是外部稳定？

e?2sg(s)?s?1

解

?e?(t?2)tg(t)?L(g(s))???0t?2?12

传递函数是无理分式，所以：

???(t?2)|g(t)|dt?|e|dt?1????02

因此系统外部稳定 例3.10 设系统状态方程为

?1?x2x?2??(1?x1)x2?x1x

试确定平衡状态的稳定性。

解 坐标原点xe?0是其唯一的平衡状态。 选择正定的标量函数 V(x)?x1?x2

22?(x)??2x(1?x) 则有 V212?(x)?0，可见该系统在单位圆外是不稳?(x)?0；当x?1时，V 当x1?1时，V1?(x)?0。因此在这个范围内系定的。但在单位圆当x1?x2?1内，由于x1?1，此时V22统平衡状态是渐近稳定的。这个单位圆称做不稳定极限环。

3.4.3离散系统的稳定性判别

设系统状态方程为x(k?1)??x(k)，式中?阵非奇异，原点是平衡状态。取正定二次型函数

V[x(k)]?xT(k)Px(k) （5）

?(x)，有 以?V[x(k)]代替V ?V[x(k)]?V[x(k?1)]?V[x(k)] （6） 考虑状态方程，有

?V[x(k)]?xT(k?1)Px(k?1)?xT(k)Px(k)

?[?x(k)]TPx(k?1)Px(k?1)?xT(k)Px(k) （7） ?xT(k)[?TP??P]x(k)令 ?TP??P??Q （8）

T式（8）称为李雅普诺夫代数方程。x(k)Px(k)是系统的一个李雅普诺夫函数，于是有

?V[x(k)]??x(k)Qx(k) （9）

系统x(k?1)??x(k)渐近稳定的充要条件是：给定任一正定实对称矩阵Q（常取

TQ＝I），存在正定对称矩阵P，使式（8）成立。